Manoel tinha 36 anos no dia do nascimento de Vera, considerando que os membros da família são Manoel, Regina, Vera e o irmão de Vera.

Para obter esse resultado é necessário montar o sistema de equações descrito na questão, que relaciona a idade de cada membro da família.

O que é um sistema de equações?

É um sistema composto por um conjunto de equações que possuem mais de uma incógnita, onde é necessário encontrar o valor de cada incógnita que satisfaça todas as equações do sistema simultaneamente.

No caso do exercício proposto, as incógnitas são as idades de cada um dos membros da família. Para resolver a questão, vamos representar Vera com a letra v, Manoel com a letra m, Regina com a letra r e o irmão de Vera com a letra i.

Como dito no enunciado, Vera tem sete anos a mais que seu irmão, ou seja: v = 7 + i, sendo essa a primeira equação do sistema.

Nesse mesmo raciocínio, podemos interpretar o restante do enunciado como equações:

• r = 8 + 3 * i , já que Regina tem o triplo da idade de seu filho e mais oito anos;
• m = 5 + r , já que Manoel é cinco anos mais velho que sua esposa;
• m + v + r + i = 148, já que a soma das idades dos membros da família é 148 anos.

Assim, montamos o sistema de equações:

[tex]$\left\{\begin{array}{ll}v = 7 + i\\r = 8 + 3 * i\\m = 5 + r\\m + v + r + i = 148\end{array}\right$\\[/tex]

Para resolver esse sistema, pode-se usar dois métodos diferentes: o método da substituição, que consiste em isolar uma das incógnitas de alguma equação e substitui-lá na outra, ou o método da soma, que consiste em somar equações para eliminar uma incógnita. No exercício optei por usar o método da substituição. Dessa forma, a incógnita i foi isolada, já que ela está presente em mais de uma equação do sistema.

Portanto: i = v - 7.

Substituindo i na segunda equação obtemos:

r = 8 + 3 * (v - 7)  →  r = 8 + 3v - 21  →  r = 3v - 13

Agora, substituímos r na terceira equação, para que possamos representar todas incógnitas em função de uma incógnita em comum (no caso a incógnita v).

m = 5 + 3v - 13  →  m = 3v - 8

Por último, substituímos todas incógnitas da última equação pela igualdade em função de v, da seguinte forma:

(3v - 8) + v + (3v - 13) + (v - 7) = 148

Como essa nova equação só apresente uma incógnita (v), basta resolve-lá normalmente:

3v + v + 3v + v - 8 - 13 - 7 = 148  →  8v - 28 = 148  →  8v = 176 →  v = 176/8

Assim, obtemos v = 22.

A questão pergunta a idade de Manoel no dia do nascimento de Vera, ou seja, quantos anos Manoel tem a mais que Vera. Para descobrir isso, basta descobrir a idade de Manoel e subtrair 22 (idade de Vera).

Anteriormente descobrimos que m = 3v - 8, e como sabemos o valor de v, conseguimos substitui-lo na equação para determinar a idade de Manoel:

m = 3 * 22 - 8  →  m = 58

Para finalizar, subtrai-se a idade da Vera da idade de Manoel:

58 - 22 = 36

Portanto, Manoel teria 36 anos quando Vera nasceu.

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