Resposta:

a) Para demonstrar a fórmula de Pitágoras utilizando um triângulo retângulo, devemos começar lembrando das propriedades desse tipo de triângulo. Nos triângulos retângulos, o quadrado da medida da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (os outros dois lados).

Vamos chamar a medida da hipotenusa de "c" e as medidas dos catetos de "a" e "b". Então, temos a seguinte fórmula: c² = a² + b².

Agora, vamos usar um exemplo prático para demonstrar essa fórmula. Suponha que o cateto "a" tenha medida 3 cm e o cateto "b" tenha medida 4 cm. Para encontrar a medida da hipotenusa "c", podemos utilizar a régua e medir a linha reta que une as extremidades dos catetos. Se fizermos essa medição, vamos encontrar que "c" tem medida 5 cm.

Agora, vamos aplicar a fórmula de Pitágoras para verificar se ela se aplica a esse exemplo: c² = 5² = 25, a² = 3² = 9 e b² = 4² = 16. Agora, vamos somar a² e b²: 9 + 16 = 25. Como você pode ver, o resultado é o mesmo que c².

Portanto, nesse exemplo, a fórmula de Pitágoras se aplica corretamente, confirmando seu teorema para triângulos retângulos.

b) Para utilizar um quadrado para demonstrar a fórmula da área de um triângulo, podemos construir um quadrado com um dos lados sendo igual à base do triângulo e a altura do triângulo sendo igual ao lado do quadrado.

Ou seja, suponha que temos um triângulo com base "b" e altura "h". Podemos construir um quadrado com um lado de medida "b" e área "A".

Sabemos que a área de um quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado. Então, a área do quadrado é A = b².

Agora, vamos calcular a área do triângulo. A área de um triângulo é dada pela fórmula A = (base * altura) / 2. Substituindo b pela base e h pela altura, temos A = (b * h) / 2.

Para relacionar a área do triângulo com a área do quadrado, podemos igualar as duas fórmulas: A = b² e A = (b * h) / 2.

Isso nos leva a b² = (b * h) / 2. Multiplicando a equação por 2, temos 2 * b² = b * h. Dividindo toda a equação por b, temos 2 * b = h.

Portanto, chegamos à fórmula da área do triângulo: altura igual a duas vezes o valor da base.

Essa é uma forma de demonstrar a relação entre a área de um triângulo e a área de um quadrado, utilizando uma régua para medir os lados e um quadrado para visualizar essa relação.