A
Vecteur directeur d'une droite
Objectif Découvrir la notion de vecteur directeur.
On se place dans un repère orthonormé.
On considère une droite d. A, B, C et D sont quatre
points de cette droite et E et F sont deux points qui
n'appartiennent pas à d.
C
0 1
1a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC et EF.
b) Calculer les déterminants de ces vecteurs pris deux par deux. Que constate-t-on ?
c) Ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de d. Proposer deux autres
vecteurs directeurs de d.
d) Déterminer par le calcul quel vecteur de et
est un vecteur directeur de d.
de coordonnées (1; m) soit
AIDE
B
b) Le déterminant de
deux vecteurs (x;y)
et (x'; y') est égal à
xy'-x'y.
2 a) Calculer la valeur du réel m tel que le vecteur
un vecteur directeur de d.
b) Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d avec l'axe des ordonnées? Justifier.
3 On considère sur la droite d un point M quelconque de coordonnées (x; y).
a) Calculer le déterminant des vecteurs AM et AB en fonction de x et y. Pourquoi ce déterminant est-il nul?
b) En déduire que le point M vérifie la relation x-4y+17-0. Cette relation est appelée équation cartésienne de d.
c) En prenant le déterminant des vecteurs BM et AC, établir une seconde équation cartésienne de d.
Vecteur directeur d'une droite
Objectif Découvrir la notion de vecteur directeur.
On se place dans un repère orthonormé.
On considère une droite d. A, B, C et D sont quatre
points de cette droite et E et F sont deux points qui
n'appartiennent pas à d.
C
0 1
1a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC et EF.
b) Calculer les déterminants de ces vecteurs pris deux par deux. Que constate-t-on ?
c) Ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de d. Proposer deux autres
vecteurs directeurs de d.
d) Déterminer par le calcul quel vecteur de et
est un vecteur directeur de d.
de coordonnées (1; m) soit
AIDE
B
b) Le déterminant de
deux vecteurs (x;y)
et (x'; y') est égal à
xy'-x'y.
2 a) Calculer la valeur du réel m tel que le vecteur
un vecteur directeur de d.
b) Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d avec l'axe des ordonnées? Justifier.
3 On considère sur la droite d un point M quelconque de coordonnées (x; y).
a) Calculer le déterminant des vecteurs AM et AB en fonction de x et y. Pourquoi ce déterminant est-il nul?
b) En déduire que le point M vérifie la relation x-4y+17-0. Cette relation est appelée équation cartésienne de d.
c) En prenant le déterminant des vecteurs BM et AC, établir une seconde équation cartésienne de d.
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Réponse:
a) Les coordonnées des vecteurs AB, AC et EF sont respectivement :
AB = (2-1 ; 5-2) = (1 ; 3)
AC = (3-1 ; 1-2) = (2 ; -1)
EF = (4-(-1) ; 1-3) = (5 ; -2)
b) Les déterminants des vecteurs pris deux par deux sont :
det(AB, AC) = 1*(-1) - 32 = -7
det(AB, EF) = 1(-2) - 35 = -17
det(AC, EF) = 2(-2) - (-1)*5 = -4
On constate que ces déterminants sont non nuls et que leur signe n'est pas le même. Cela signifie que les vecteurs AB, AC et EF sont linéairement indépendants, et donc qu'ils forment une base de l'espace vectoriel engendré par la droite d.
c) Deux autres vecteurs directeurs de d peuvent être trouvés en prenant les vecteurs BC et BD, ou encore les vecteurs CD et DA.
d) Pour être un vecteur directeur de la droite d, le vecteur de coordonnées (1 ; m) doit être colinéaire à l'un des vecteurs directeurs AB, AC ou EF. Autrement dit, il doit exister un réel k tel que (1 ; m) = kAB, (1 ; m) = kAC ou (1 ; m) = kEF.
En comparant les coordonnées, on trouve que k = 1/m pour le premier cas, k = 2/(1-m) pour le deuxième cas et k = 5/(1-3m) pour le troisième cas.
Le vecteur de coordonnées (1 ; m) sera donc un vecteur directeur de d si et seulement si l'une de ces égalités est vérifiée.
2 a) Pour que le vecteur de coordonnées (1 ; m) soit un vecteur directeur de d, il doit être colinéaire à l'un des vecteurs directeurs AB, AC ou EF. On a vu dans la question précédente que cela revient à trouver un réel k tel que (1 ; m) = kAB, (1 ; m) = kAC ou (1 ; m) = kEF.
En égalisant les coordonnées, on obtient un système de deux équations à deux inconnues :
k = 1/m
3k - 2m = 0
En résolvant ce système, on trouve k = 3/2 et m = 2/3.
Donc le vecteur de coordonnées (1 ; 2/3) est un vecteur directeur de la droite d.
b) Le point d'intersection de la droite d avec l'axe des ordonnées est le point où x = 0. Pour trouver ses coordonnées, on peut utiliser l'équation cartésienne de la droite d.
On a vu dans la question 3b) que l'équation cartésienne de d est x-4y+17=0. En remplaçant x par 0, on obtient l'équation -4y+17=0, d'où y = 17/4.
Donc le point d'intersection de la droite d avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées