ABCD est un rectangle tel que AB=9 et AD=6 M est un point de [CD] et N un point de [BC] on pose DM =x
1) Calculer BN en fonction de x pour que les triangles ADM et ABN aient la même aire. On prendra pour la suite cette valeur de BN
2) Soit g la fonction qui à x associe l'aire du triangle ADM et h la fonction qui à x associe l'aire du quadrilatère ANCM. Déterminée g(x) et h(x) et en donner une représentation graphique pour 0
x]9
3) Déterminer les coordonnées du point commun aux deux droites. Pouvait-on prévoir le résultat ?
1) Calculer BN en fonction de x pour que les triangles ADM et ABN aient la même aire. On prendra pour la suite cette valeur de BN
2) Soit g la fonction qui à x associe l'aire du triangle ADM et h la fonction qui à x associe l'aire du quadrilatère ANCM. Déterminée g(x) et h(x) et en donner une représentation graphique pour 0
3) Déterminer les coordonnées du point commun aux deux droites. Pouvait-on prévoir le résultat ?
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1) BN fonction de x pour que ADM et ABN aient la même aire.
Aire (ADM) = (AD * DM) / 2 = 6x / 2 = 3x
Aire (ABN) = (AB * BN) / 2 = 9 * BN / 2
On veut avoir : Aire (ADM) = Aire (ABN)
9 * BN / 2 = 3x
9 * BN = 6x
BN = (6/9)x
BN = (2/3)x
2) Soit g(x) qui à x associe : Aire(ADM), et h(x) qui à x associe Aire(ANCM).
a) déterminez g(x) et h(x) en fonction de x.
g(x) = Aire (ADM)
g(x) = 3x
h(x) = Aire(ANCM)
h(x) = Aire(ABCD) - Aire(ABN) - Aire(ADM)
h(x) = (9 * 6) - (9 * BN / 2) - 3x
h(x) = 54 - (9 * BN / 2) - 3x
Mais nous savons que : BN = (2/3)x
h(x) = 54 - (9 * (2/3)x / 2) - 3x
h(x) = 54 - 3x - 3x
h(x) = 54 - 6x
b) Représentation graphique pour 0 ≤ x ≤ 9
Vous allez tracer la droite : g(x) = 3x
C'est une fonction linéaire de coefficient directeur : 3
Il vous faut 2 points
Si x = 0 alors g(x) = y = 3 * 0 = 0
Si x = 9, alors g(x) = y = 3 * 3 = 27
1er point : (0 ; 0)
2ème point : (9 ; 27)
Vous allez tracer la droite : h(x) = 54 - 6x
C'est une fonction affine de coefficient directeur : - 6
Il vous faut 2 points
Si x = 0 alors h(x) = y = 54 - (6 * 0) = 54
Si x = 9, alors h(x) = y = 54 - (6 * 9) = 0
1er point : (0 ; 54)
2ème point : (9 ; 0)
c) Coordonnées du point I commun à Cg et Ch.
Il faut que g(x) = h(x)
g(x) = 3x = h(x) = 54 - 6x
3x = 54 - 6x
9x = 54
x = 6
Ensuite on doit trouver l'ordonnée y :
y = g(6) = 3 * 6 = 18
y = h(3) = 54 - (6 * 6) = 54 - 36 = 18
Le point I a pour coordonnées : I (6 ; 18)
3) Pouvait-on deviner une des coordonnées de I dès le début sans aucun calcul ?
Oui, car il faut un nombre multiple des 2 cotés du rectangle, à savoir : 9 et 6.
Ce nombre, c'est 18, ce qui correspond à l'ordonnée du point I.
Voilà. (Toutes ses réponses je suis allez les chercher sur Internet.)