bjr

1)

 somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme a et raison q

 Sn = a(q^n  - 1)/(q - 1)

Sn = 10 + 10² + 10³ + ...... + 10^n

    = 10 (10^n  - 1)/9   (1)

2)

Sn = 1 + 11 + 111 + ....   (n termes)

     = (1/9)(9 + 99 + 999 + ....    n termes)

      = (1/9) [ (10 - 1) + (10² - 1) + (10³ - 1) + ........ + (10^n - 1)]

    = (1/9)(10 + 10² + 10³ + .....+ 10^n - 1 - 1 - 1 ........ - 1 )    

    = (1/9) ( Sn - n)              on remplace Sn par (1)

Sn = (1/9) ( [10 (10^n  - 1)/9] - n)

    =  (1/9) ( [10 (10^n  - 1)/9] - 9n/9)

     = (1/9) ( [10^(n+1)  - 10)/9] - 9n/9)

     = (1/9)([10^(n+1) - 10 - 9n]/9)

     = [10^(n+1) - 10 - 9n] / 81