Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

1) x=AM ,comme M∈[AB] et AB=8, x∈[0;8]

2) L'aire de la figure grisée est la somme de l'aire du carré(AMEF) et de l'aire du carré(MBGH)

aire du carré (AMEF)=AM²=x²

aire du carré(MBGH)=MB² or MB=AB-AM=8-x

aire du carré(MBGH)=(8-x)²

A(x)=x²+(8-x)²

3) développons A(x)

A(x)=x²+(8-x)²=x²+64-16x+x²=2x²-16x+64

a)2x²-16x+64=x²+(8-x)²=A(x)

b)2(x-4)²+32=2(x²-8x+16)+32=2x²-16x+32+32=2x²-16x+64=A(x)

c)2(x-6)(x-2)+40=2(x²-2x-6x+12)+40=2(x²-8x+12)+40=2x²-16x+64=A(x)

4) a) A(x)=40⇔2(x-6)(x-2)+40=40 ⇔2(x-6)(x-2)=0

        ⇔x=6 ou x=2

Pour que l'aire soit de 40 cm²,on doit placer M à 2 cm ou à 6 cm de A

    b) A(x)=64 ⇔2x²-16x+64=64

        ⇔2x²-16x=0 ⇔2x(x-8)=0 ⇔x=0 ou x=8

Pour que l'aire soir de 64 cm²,M doit être confondu avec A ou avec B

     c)A(x) la plus petite possible

     2(x-4)²+32 est la forme canonique du trinôme A(x)

    l'extremum ,qui est ici un minimum, est donc atteint en x=4,et vaut 32 cm²

Pour que l'aire soit la plus petite possible,soit 32 cm²,M doit être le milieu de [AB]