4) O que nos interessa na fórmula da população é o termo [tex]\frac{7}{t+2}[/tex], pois é nele que está a variável t. Se quisermos calcular a população da cidade no longo prazo, podemos aumentar t indefinidamente, de modo que [tex]t \to \infty[/tex].
Como 20 é uma constante, seu valor nunca muda e portanto seu limite é 20. Já para o outro limite, note que quanto mais t cresce, maior ele vai ficando em relação ao numerador, que é constante. Assim, para valores de t cada vez maiores, o limite tende cada vez mais para 0. Ou seja:
Portanto, a longo prazo, a tendência é que [tex]p \to 20[/tex], ou seja, que a população seja praticamente de 20 mil pessoas.
A segunda parte da questão pede que você calcule o nível de poluição que essa população vai produzir. É bem fácil, basta substituir 20 onde aparecer p:
6) Uma função f(x) é dita contínua em c se existe [tex]\lim f(x)[/tex] em c e se [tex]\lim f(x) = f(c)[/tex].
a) Em -1, temos [tex]f(-1) = 2[/tex]. Agora vamos pensar no limite da função para x muito próximo de -1. Sabemos que [tex]f(x) = \frac{x^2 + x}{x + 1}[/tex] quando x ≠ -1. Então
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4) O que nos interessa na fórmula da população é o termo [tex]\frac{7}{t+2}[/tex], pois é nele que está a variável t. Se quisermos calcular a população da cidade no longo prazo, podemos aumentar t indefinidamente, de modo que [tex]t \to \infty[/tex].
Note:
[tex]\lim\limits_{t\to\infty}p(t) = \lim\limits_{t\to\infty}\left[20 - \frac{7}{t+2}\right] = \lim\limits_{t\to\infty}20 - \lim\limits_{t\to\infty}\frac{7}{t+2}[/tex]
Como 20 é uma constante, seu valor nunca muda e portanto seu limite é 20. Já para o outro limite, note que quanto mais t cresce, maior ele vai ficando em relação ao numerador, que é constante. Assim, para valores de t cada vez maiores, o limite tende cada vez mais para 0. Ou seja:
[tex]\lim\limits_{t\to\infty}20 - \lim\limits_{t\to\infty}\frac{7}{t+2} = 20 - 0 = 20[/tex]
Portanto, a longo prazo, a tendência é que [tex]p \to 20[/tex], ou seja, que a população seja praticamente de 20 mil pessoas.
A segunda parte da questão pede que você calcule o nível de poluição que essa população vai produzir. É bem fácil, basta substituir 20 onde aparecer p:
[tex]c(20) = 0.4\sqrt{20^2 + 20 + 21} = 0.4\sqrt{441} = 0.4\cdot21 = 8.4[/tex]
6) Uma função f(x) é dita contínua em c se existe [tex]\lim f(x)[/tex] em c e se [tex]\lim f(x) = f(c)[/tex].
a) Em -1, temos [tex]f(-1) = 2[/tex]. Agora vamos pensar no limite da função para x muito próximo de -1. Sabemos que [tex]f(x) = \frac{x^2 + x}{x + 1}[/tex] quando x ≠ -1. Então
[tex]\lim\limits_{x\to-1}f(x) = \lim\limits_{x\to-1}\frac{x^2 + x}{x + 1}[/tex]
Mas se só substituirmos x por -1, teremos uma divisão por zero! Perceba que podemos fatorar o x no numerador:
[tex]\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^2 + x}{x + 1} = \lim\limits_{x\to-1}\frac{x(x + 1)}{x + 1} = \lim\limits_{x\to-1}x = -1[/tex]
Então [tex]\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^2 + x}{x + 1} \neq 2 = f(-1)[/tex], ou seja, pela definição, a função não é contínua em -1.
b) Para 0, temos
[tex]f(0) = \frac{0^2+0}{0+1} = 0[/tex]
Note que não tem problema substituir x por 0 para calcular o limite em 0, então
[tex]\lim\limits_{x\to0}f(x) = f(0) = 0[/tex]
Como o limite de f(0) é igual a f(0), a função é contínua em 0.