Approfondissement 1. Démontrer que, pour tous réels a et b, on a: a³-b³ = (a - b)(a² + ab + b²). 2. Étude d'un cas particulier Soit le polynôme de degré 3, f(x) = 3x³-7x² + 6x-8 a. En écrivant f(2)=3x2³-7x2²+6x2-8, démontrer que f(x)-f(2) s'écrit sous la forme du produit de (x-2) par un polynôme du second degré. b. Calculer f(2). c. En déduire une factorisation de f(x). d. Déterminer les racines de f(x). 3. Étude du cas général Soit un polynôme de degré 3, f(x) = ax³ + bx²+cx+d avec a, b, c et d quatre réels et a=0. a. Soit a un réel quelconque. Exprimer f(x) en fonction de a puis démontrer que f(x)-f(a) s'écrit sous la forme du produit de (x-a) par un polynôme de degré b. En déduire que a est une racine du polynomef(x) si et seulement si f(x) peut-être factorisé par (x-a)
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Réponse :
1. **Démonstration de \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)**
Pour démontrer cette identité remarquable, nous commencerons par écrire \(a^3 - b^3\) :
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
On peut vérifier cette égalité en multipliant \(a - b\) par \(a^2 + ab + b^2\) :
\(a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)\)
En développant cette expression, on obtient :
\(a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3\)
Les termes intermédiaires se simplifient, laissant :
\(a^3 - b^3\), ce qui confirme l'identité.
2. **Étude d'un cas particulier \(f(x) = 3x³-7x² + 6x-8\)**
a. \(f(2)\) peut être exprimé comme \(f(2) = 3(2)^3 - 7(2)^2 + 6(2) - 8\).
\(f(x) - f(2)\) s'exprime alors comme le produit de \(x - 2\) par un polynôme du second degré.
b. Calculons \(f(2)\) : \(f(2) = 3(2)^3 - 7(2)^2 + 6(2) - 8 = 24 - 28 + 12 - 8 = 0\).
c. En utilisant le résultat de \(f(2)\), nous avons \(f(x) - f(2) = 3x³-7x² + 6x-8\).
d. En factorisant par \(x - 2\), nous obtenons la factorisation de \(f(x)\).
3. **Étude du cas général \(f(x) = ax³ + bx² + cx + d\) avec \(a \neq 0\)**
a. Pour \(a \neq 0\), exprimons \(f(x) - f(a)\) et démontrons qu'il se factorise par \(x - a\).
\(f(x) - f(a) = a(x^3 - a^3) + b(x^2 - a^2) + c(x - a)\)
En factorisant, nous obtenons :
\(f(x) - f(a) = a(x - a)(x^2 + ax + a^2) + b(x - a)(x + a) + c(x - a)\)
Nous pouvons voir que \(f(x) - f(a)\) se factorise par \(x - a\).
b. Cela démontre que si \(a\) est une racine de \(f(x)\), alors \(f(x)\) peut être factorisé par \(x - a\). Le raisonnement inverse est également vrai. Si \(f(x)\) peut être factorisé par \(x - a\), alors \(a\) est une racine de \(f(x)\).
Explications étape par étape :