É necessário conhecimento básico em equações irracionais para entender esse tipo de questão; Elas são equações que misturam as incógnitas (como o x, por exemplo) dentro das raízes. Para resolvermos, precisaremos elevar ao quadrado algumas vezes, e isso pode gerar novas raízes que não satisfazem a nossa equação. Por isso, ao final, será necessáriotestar as raízes que encontrarmos.
Vamos resolver essa questão passo a passo:
Elevar [tex]\sqrt{x+2} = \sqrt{3x-5}-1[/tex] ao quadradodos dois lados, para remover a raiz quadrada do lado esquerdo. Dessa forma:[tex](\sqrt{x+2} ) ^{2} = (\sqrt{3x-5} -1 ) ^{2} \\ x+2 = 3x-5-2\sqrt{3x-5} +1 \\[/tex]
Isolar o termo que está com a raiz. Assim: [tex]x+2-3x+5-1 = -2\sqrt{3x+5} \\-2x+6 = -2\sqrt{3x+5}\\\frac{-2x+6}{-2} = \sqrt{3x+5}\\x-3=\sqrt{3x+5}[/tex]
Elevar ao quadrado dos dois lados novamente, e isolar a equação e igualar a zero, pois isso gera uma equação do segundo grau: [tex](x-3)^{2} =(\sqrt{3x-5})^{2} \\ x^{2} -6x+9=3x-5\\x^{2} -6x-3x+9+5=0\\x^{2} -9x+14=0[/tex]
Vamos resolver essa equação por Bhaskara: [tex]x_{1} = \frac{-b +\sqrt{Delta}}{2a}[/tex] e [tex]x_{2} = \frac{-b -\sqrt{Delta}}{2a}[/tex], sendo Delta: Δ[tex]= b^{2} - 4ac[/tex]
Calculando o discriminante da equação do segundo grau, que é a raiz de delta. Δ[tex]= 9^{2} - 4. 1. 14 = 81 -56 = 25[/tex] . Logo, [tex]\sqrt{25} = 5[/tex].
Calcular [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex]. Desse modo: [tex]x_{1}=\frac{-(-9)+5}{2 . 1} = \frac{9+5}{2} = \frac{14}{2} = 7[/tex] [tex]x_{2}=\frac{-(-9)-5}{2}=\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}= 2[/tex]
Finalmente, testar as raízes encontradas na equação original. [tex]\sqrt{x+2} = \sqrt{3x+5} - 1[/tex]
Testemos o x =2:
[tex]\sqrt{2+2} = \sqrt{3.2-5}-1\\\sqrt{4}=\sqrt{6-5}-1\\ 2=\sqrt{1}-1\\ 2 = 0[/tex] ou seja, x = 2 NÃO satisfaz a nossa equação.
Testemos o x =7:
[tex]\sqrt{7+2}=\sqrt{3.2-5} -1\\\sqrt{x} 9 = \sqrt{21-5} - 1\\ 3 = \sqrt{16}-1\\ 3= 4-1\\3=3[/tex]Logo, x = 7 é a raiz da nossa equação original.
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Equações Irracionais
É necessário conhecimento básico em equações irracionais para entender esse tipo de questão; Elas são equações que misturam as incógnitas (como o x, por exemplo) dentro das raízes. Para resolvermos, precisaremos elevar ao quadrado algumas vezes, e isso pode gerar novas raízes que não satisfazem a nossa equação. Por isso, ao final, será necessário testar as raízes que encontrarmos.
Vamos resolver essa questão passo a passo:
[tex]\sqrt{2+2} = \sqrt{3.2-5}-1\\\sqrt{4}=\sqrt{6-5}-1\\ 2=\sqrt{1}-1\\ 2 = 0[/tex] ou seja, x = 2 NÃO satisfaz a nossa equação.
[tex]\sqrt{7+2}=\sqrt{3.2-5} -1\\\sqrt{x} 9 = \sqrt{21-5} - 1\\ 3 = \sqrt{16}-1\\ 3= 4-1\\3=3[/tex]Logo, x = 7 é a raiz da nossa equação original.
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