A fórmula [tex]T(n)[/tex] para obter a quantidade pontos de um número triangular é:

[tex]T(n)=\dfrac{(n+1)\cdot n}{2}[/tex]

Sequências Numéricas

A questão envolve o conceito de recorrência que nos fornece uma sequência numérica.

Observando atentamente as figuras e relacionando o total de pontos [tex]T(n)[/tex] com as [tex]n[/tex]-ésimas figuras temos:

[tex]T(1)=1\\\\T(2)=3\\\\T(3)=6\\\\T(4)=10\\\\\vdots[/tex]

e assim por diante.

Reescrevendo a sequência de modo recursivo, isto é, em função do termo anterior obtemos:

[tex]T(1)=1\\\\T(2)=T(1)+2\\\\T(3)=T(2)+3\\\\T(4)=T(3)+4\\\\\vdots \\ \\T(n)=T(n-1)+n[/tex]

Aplicando a soma telescópica:

[tex]\textbf{T(1)}=1\\\\\textbf{T(2)}=\textbf{T(1)}+2\\\\\textbf{T(3)}=\textbf{T(2)}+3\\\\\textbf{T(4)}=\textbf{T(3)}+4\\\\\vdots \\ \\T(n)=\textbf{T(n-1)}+n\\\\\Downarrow\\\\T(n)=1+2+3+4+\ldots + n[/tex]

Esta expressão resultante é a Soma de uma Progressão Aritmética dada por:

[tex]S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex]

Portanto,

[tex]T(n)=\dfrac{(1+n)\cdot n}{2}[/tex]

Para saber mais sobre Sequências Numéricas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/47651462

#SPJ1