Bonjour,

Pour montrer que

a/b²+b/a²>1/a+1/b​

Transformons :

   1/a + 1/b​ = (a + b) /ab  avec ab ≠ 0 (1)

Partons de :

(a - b)² > 0

a² + b² -2ab  > 0

a² + b² > 2ab

( a² + b² )  > ab + ab

a² + b² - ab  > ab

( (a + b) ( a² + b² - ab) ) / (a + b)  > ab,  comme a + b > 0 => a + b ≠ 0 :

( a³ + b³)  / (a + b) >  ab  

( a³ + b³)  > (a + b) ab comme ab ≠ 0 vu en (1)

( a³ + b³) /ab  > (a + b)

a³/ab + b³/ab  > (a + b)

a²/b + b²/a  > (a + b)

(a²b)/b² + (ab²)/a² > (a + b)

ab ( a/b² + b/a²) > (a + b)

( a/b² + b/a²) > (a + b)  / ab , par rapport au (1), il vient :

( a/b² + b/a²) > 1/a + 1/b​

CQFD