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Démontrer l'égalité suivante, appelé l'égalité de Lagrange: (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)²+ (ad - bc)²
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(a² + b²)(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²
(ac + bd)²+ (ad - bc)² = (a²c² + 2acbd + b²d²) + (a²d² - 2adbc + b²c²)
= a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² - 2abcd + b²c².
= a²c² + b²d² + a²d² + b²c²
= a²c² + a²d² + b²c² + b²d²
Les membres de droite étant égaux, on en déduit que les membres de gauche le sont également.
Par conséquent, (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)²+ (ad - bc)²