Bilan 6 40min Comparaison de deux aires
On considère un carré
ABCD de côté 20. Un
point M se déplace
sur le segment [AB].
On note x la distance
AM. Les points P et N
sont tels que AMNP
soit un carré avec
P=[AD].
On note f(x) l'aire
du carré AMNP et
g(x) l'aire du triangle
DNC.
20
D
A
50
#
x
N
M
2. Exprimer la longueur DP en fonction de x.
3. Démontrer alors que pour tout réel x de I, on a :
f(x)=x² et g(x)=-10x+200
Partie A. Expression de f(x) et g(x)
1. Dans quel intervalle la longueur x peut-elle varier ?
On note I cet intervalle dans la suite.
X
C
B
Partie B. Lectures graphiques
On a représenté ci-dessous les courbes respectives f
et des fonctions f et g.
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1. Identifier chacune des courbes en justifiant
brièvement.
2. Conjecturer graphiquement l'ensemble des solutions
de l'inéquation f(x) = g(x).
Interpréter concrètement ce résultat.
Partie C. Résolution algébrique
On souhaite vérifier algébriquement la conjecture
émise précédemment.
1. Montrer que l'inéquation f(x) = g(x) est équiva-
lente à l'inéquation x² +10x-200≥0
2. Vérifier que pour tout nombre réel x, on a :
x² +10x-200=(x-10)(x+20)
3. Résoudre alors algébriquement f(x) = g(x), et
confronter ce résultat avec celui obtenu précédemment.