Bonjour,

1)

E(π/2) : z² - 2(1 + 2cos(π/2))z  + 5 + 4cos(π/2) = 0

⇔ z² - 2z + 5 = 0

Δ = 4 - 20 = -16 = (4i)²

⇒ z = (2 - 4i)/2 = 1 - 2i ou z = 1 + 2i

E(π/6) : z² - 2(1 + 2cos(π/6))z  + 5 + 4cos(π/6) = 0

⇔ z² - 2(1 + 2√(3)/2)z + 5 + 4√(3)/2 = 0

⇔ z² - (2 + 2√(3))z + 5 - 2√(3) = 0

Δ = (2 + 2√(3))² - 4(5 + 2√(3))

= 4 + 8√(3) + 12 - 20 - 8√(3)

= -4

= (2i)²

⇒ z = (2 + 2√(3) - 2i)/2 = 1 + √(3) - i

ou z = 1 + √(3) + i

2) a) ci-dessous

zA = 1 + 2i, zD = 1 - 2i                    solutions de E(π/2)

zB = 1 + √(3) + i, zC = 1 + √(3) - i     solutions de E(π/6)

b) ABCD trapèze :

A et D ont la même abscisse et des ordonnées opposées

B et C ont la même abscisse et des ordonnées opposées

⇒ (AB)//(CD) et les milieux de [AB] et de [CD] appartiennent à l'axe des abscisses.

ABD rectangle en B :

AB² = |zB - zA|² = |√(3) - i|²     = (√(3))² + (-1)² = 4

BD² = |zD - zB|² = |-√(3) - 3i|²  = 3 + 9 = 12

⇒ AB² + BD² = 16

et AD² = |zD - zA|² = [-4i|² = 16 = AB² + BD²

c) ABD rectangle en B

⇒ On en déduit A, B et C appartiennent au cercle Γ de centre le milieu de [AD] et de rayon AD/2.

ABCD est un trapèze ⇒ AB = DC ⇒ C appartient également à ce cercle

Soit I le milieu de [AD] : affixe zI = (zA + zD)/2 = 1   soit I(1;0)

R = AD/2 = √(AD²)/2 = √(16)/2 = 4/2 = 2

⇒ équation de Γ : (x - 1)² + y² = 2²

3)a) E(θ) : z² - 2(1 + 2cos(θ))z + 5 + 4cos(θ) = 0

Δ = 4(1 + 2cos(θ))² - 4(5 + 4cos(θ))

= 4(1 + 4cos(θ) + 4cos²(θ)) - 20 - 16cos(θ)

= 16cos²(θ) - 16

= 16(cos²(θ) - 1)       (pour tout réel θ, cos²(θ) - 1 ≤ 0)

= 16i²(1 - cos²(θ))

= [4i√(1 - cos²(θ))]²

z = [2(1 + 2cos(θ)) +/- 4i√(1 - cos²(θ))]/2

soit z = (1 + 2cos(θ)) +/- 2√(1 - cos²(θ))i

z - zI = 2cos(θ) +/- 2√(1 - cos²(θ))i

⇒ |z - zI| = √[4cos²(θ) + 4(1 - cos²(θ)] = √(4) = 2 = R

⇒ pour tout point M d'affixe z, MI = R

⇒ Tous les points d'affixes solutions de E(θ) appartiennent à Γ.