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Bonjour,

Ex 1)

a) 3z + 1 - i = 7 + 3i

⇔ 3z = 6 + 4i

⇔ z = 2 + 4i/3

b) z = a + ib ⇒ zbarre = a - ib

2z + izbarre = 5 - 2i

⇔ 2(a + ib) + i(a - ib) - 5 + 2i = 0

⇔ (2a + b - 5) + (2b + a + 2) = 0

⇒ 2a + b - 5 = 0      (1)

et a + 2b + 2 = 0      (2)

(1) - 2x(2) ⇒ 2a + b - 5 - 2a - 4b - 4 = 0 ⇔ -3b = 9 ⇔ b = -3

(2) ⇒ a = -2b - 2 = 4

⇒ z = 4 - 3i

Ex 2)

z = a + 2i

a) z² = (a + 2i)² = (a² - 4) + 4ai

z² ∈ R ⇒ 4a = 0 ⇔ a = 0 ⇒ z = -4

z² ∈ I ⇒ a² - 4 = 0 ⇒ a = 2 ou a = -2 ⇒ z = 8i ou z = -8i

b) z + azbarre = 0

⇔ a + 2i + a(a - 2i) = 0

⇔ a + a² + (2 - 2a)i = 0

∈ R ⇒ 2 - 2a = 0 ⇔ a = 1 ⇒ z = 1 + 2i

Ex 3)

1) a)

A(2;2) ⇒ zA = 2 + 2i ⇒ |zA| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2

b) A et A' ont la même abscisse ⇒ OA'A est rectangle en A'

et xA = yA = xA' ⇒ OA' = AA' ⇒ OA'A est isocèle en A'

⇒ les angles (AOA') et (A'AO) sont égaux et valent π/4

⇒ arg(zA) = π/4

(fais une figure)

2) a)

|zB| = √[(-√3)² + 1²] = √(10)

|zC| = √(0² + 2²) = 2

zB - zC = -√3 + i - 2i = -√3 - 1

⇒ |zB - zC| = √[(-√3)² + (-1)²] = √(10)

On en déduit : OB = OC = BC ⇒ OBC est équilatéral

b) arg(zB) = π/2 + π/3