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Bonjour,

1) P(x) = ax³ + bx² + cx + d

P(1) = 0 ⇒ a + b + c + d = 0

P(x+1) - P(x)

= a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d - ax³ - bx² - cx - d

= a[x³ + 3x² + 3x + 1 - x³] + b[x² + 2x + 1 - x²] + c[x + 1 - x]

= a[3x² + 3x + 1] + b[2x + 1] + c

= 3ax² + (3a + 2b)x + (a + b + c)

On veut, pour tout x ∈ R, P(x+1) - P(x) = x²

⇒ 3a = 1 ⇔ a = 1/3

3a + 2b = 0 ⇒ b = -1/2

a + b + c = 0 ⇒ c = -a - b = 1/2 - 1/3 = 1/6

et d = -(a + b + c) = 0

⇒ P(x) = x³/3 - x²/2 + x/6

Remarque : P(1) = 0 ⇒ P(x) = (x - 1)(x²/3 - 5x/6 - 1)

2)

n = 1 ⇒ P(n+1) = P(2) = P(1+1) = P(1) + 1² = 0 + 1 = 1 = 1²

donc vrai au rang n = 1

On suppose qu'au rang n : 1² + 2² + .... + n² = P(n + 1)

Au rang (n + 1) :

1² + 2² + .... + n² + (n + 1)² = P(n + 1) + (n + 1)² par hypthèse de récurrence

Or P(n + 1) = P(n) + n² d'après la propriété de P(x).

Donc P(n + 1) + (n + 1)² = P(n) + n² + (n + 1)²

Or  P(n + 2) = P(n + 1) + (n + 1)² = P(n) + n² + (n + 1)²

Donc 1² + 2² + .... + (n + 1)² = P(n + 2)

3) P(n+1) = P(n) + n²

= n³/3 - n²/2 + n/6 + n²

= n³/3 + n²/2 + n/6

= n(2n² + 3n + 1)/6

= n(2n + 1)(n + 1)/6

4) a) 1² + 2² + ... + 10² = 10(2*10 + 1)(10 + 1)/6 = 2310/6 = 385

b) idem...