Boa tarde. Alguém consegue resolver essa questão de encontrar o domínio da função? A resposta é a letra B, mas gostaria do processo até chegar na conclusão.
Gkkkcry
Boa noite rtgave! Estava refazendo essa questão, surgiu uma dúvida e vim ver sua resposta. Gostaria de saber como você identificou que os valores reais encontrados eram os que coincidiam com os números positivos no esqueminha de tabela que você fez!
Gkkkcry
Não sei se ficou muito claro, qualquer coisa, vou tentar reformular a minha dúvida! Grato desde já...
Para resolver essa questão, precisamos analisar separadamente o numerador e o denominador. Veja os passos que vou usar para o numerador:
Desenvolvendo a equação do numerador (o de cima) encontraremos uma função de segundo grau;
Veja o que o numerador está dentro de uma raiz, então ele não pode ter valor menor que zero, pois não existe raiz de números negativos dentro dos reais.
O numerador pode ser zero, então x no numerador precisa ser maior ou igual à zero.
A equação de segundo grau do numerador é [tex]6x^2-7x-3[/tex], precisamos descobrir para quais valores essa equação é menor do que 0. Vamos agora descobrir suas raízes:
A parábola tem concavidade voltara para cima, pois o coeficiente a da equação é positivo. Logo, os valores que estão entre as raízes são menores que zero, conforme na imagem que eu anexei. Então para o numerador:
[tex]x \geq \frac{3}{2}[/tex] e [tex]x \leq \frac{-1}{3}[/tex]
Agora olhando para o denominador (o de baixo);
O denominador não pode ser menor que zero (negativo) pois está dentro de uma raiz e não temos raízes de números negativos dentro dos reais;
O denominador também não pode ser 0, pois a função é uma fração, e divisões por 0 não estão definidas.
Essa questão é um pouco complexa, caso tenha dúvidas pode estou à disposição.
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Gkkkcry
Em -5x > -7, ao invés de passar o -5 e depois transformar em positivo, eu multipliquei a conta por -1, o que acabou invertendo o sinal. É errado fazer dessa maneira, certo? Mas por quê? Grato desde já!
1Archimidean1
Excelente pergunta! Nós usamos esse método de inversão da desigualdade quando encontramos um valor negativo para x. Porém veja que a desigualdade é -5*x > -7, ou seja, o sinal negativo acompanha o 5, e não o x. Portanto não há a necessidade de inversão da desigualdade.
1Archimidean1
Aconselho que, antes de multiplicar por -1, isole totalmente a ou as variáveis, dessa forma você não vai errar.
Gkkkcry
Perfeito! Muito obrigado pela resposta. Contribuiu de maneira excelente ao meu entendimento. Eternamente grato pela explicação!
1Archimidean1
É sempre um prazer ajudar alguém que quer aprender! Qualquer dúvida estou à disposição. Bons estudos
Lista de comentários
Resposta: Letra B)
Explicação passo a passo:
Vide resolução na figura anexa!
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Explicação passo a passo:
Para resolver essa questão, precisamos analisar separadamente o numerador e o denominador. Veja os passos que vou usar para o numerador:
Temos a função
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{(3x+1)*(2x-3)}}{\sqrt{7-5x} }[/tex]
Vamos desenvolver a equação do numerador
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{(3x+1)*(2x-3)}}{\sqrt{7-5x} }\\\\f(x)=\frac{\sqrt{6x^2-9x+2x-3} }{\sqrt{7-5x} } \\\\f(x)=\frac{\sqrt{6x^2-7x-3} }{\sqrt{7-5x} }[/tex]
A equação de segundo grau do numerador é [tex]6x^2-7x-3[/tex], precisamos descobrir para quais valores essa equação é menor do que 0. Vamos agora descobrir suas raízes:
[tex]6x^2-7x-3=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-7)^2-4*6*(-3) = 49+72=121\\\\\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a} \\\\\frac{-(-7)\pm\sqrt{121} }{2*6} =\frac{7\pm11}{12} \\\\x_1=\frac{7+11}{12} =\frac{18}{12}=\frac{3}{2} \\\\x_2=\frac{7-11}{12} =\frac{-1}{3}[/tex]
A parábola tem concavidade voltara para cima, pois o coeficiente a da equação é positivo. Logo, os valores que estão entre as raízes são menores que zero, conforme na imagem que eu anexei. Então para o numerador:
[tex]x \geq \frac{3}{2}[/tex] e [tex]x \leq \frac{-1}{3}[/tex]
Agora olhando para o denominador (o de baixo);
Então o denominador precisa ser maior do que 0:
[tex]7-5x > 0\\\\-5x > -7\\\\x > \frac{-7}{-5}\\\\x > \frac{7}{5}[/tex]
Agora precisamos juntar as análises do numerador e do denominador em uma só.
Para o numerador:
[tex]x \geq \frac{3}{2}[/tex] e [tex]x \leq \frac{-1}{3}[/tex]
Para o denominador:
[tex]x > \frac{7}{5}[/tex]
Ao fazer a análise da reta real, temos:
[tex]s=[x\in\Re / x\leq -\frac{1}{3}, \frac{7}{5} < x\leq \frac{3}{2}][/tex]
Essa questão é um pouco complexa, caso tenha dúvidas pode estou à disposição.