Réponse :

Bonjour

1) voir figure en pièce jointe

2) Un vecteur directeur de (BC) est : BC(6+3/2 ; -4-1) ⇔ BC(15/2 ; -5)

Une équation cartésienne de (BC) est donc :

-5x - (15/2)y + c = 0

Utilisons les coordonnées du point C pour déterminer la valeur de c

-5×6 - (15/2)×(-4) + c = 0 ⇔ -30 + 30 + c = 0 ⇔ c = 0

Une équation de (BC)  est donc : -5x -(15/2)y = 0

que l'on peut simplifier en multipliant par (-2/5),

ce qui donne : 2x + 3y = 0

3) Soit u un vecteur normal à (BC).On a u(2; 3)

la hauteur (h) est perpendiculaire à (BC) ,donc u est un vecteur directeur de (h)

Une équation de (h) est donc : 3x - 2y + c = 0

Utilisons les coordonnées de A pour déterminer la valeur de c

⇔ 3×(7/2) - 2×2 + c = 0

⇔ 21/2 - 4 + c = 0

⇔ 13/2 + c = 0

⇔ c = -13/2

Une équation cartésienne de (h) est donc : 3x - 2y - 13/2 = 0

Multiplions par 2 pour se débarrasser des demis

On obtient (h) : 6x - 4y - 13 = 0

4) 2x + 3y = 0           ⇔  2x = -3y             ⇔ x = (-3/2)y

  6x - 4y - 13 = 0            6x - 4y - 13              6x - 4y - 13 = 0

⇔ x = (-3/2)y                     ⇔ x = (-3/2)y                ⇔ x = (-3/2)y

   6(-3/2)y - 4y - 13 = 0          -9y - 4y - 13 = 0            -13y = 13

⇔ x = (-3/2)y     ⇔ x = 3/2

    y = -1                  y = -1

Nous venons de déterminer les coordonnées du point H(3/2 ; -1), intersection de (BC) et de (h)

5) longueur BC = √[(6+3/2)²+(-4-1)²] = √[(15/2)² + 5²] = √(225/4+25)

BC = √325/4 = √325/2 = 5√13/2 cm

longueur AH = √[(3/2 - 7/2)² + (-1-2)²] = √(4 +9) = √13 cm

Aire de ABC = (5√13/2 × √13)/2 = 65/4 = 16,25 cm²

6) ABCD parallélogramme ⇔ vecteur AB = vecteur DC

Soit D(x ; y)

AB(-3/2 - 7/2 ; 1-2) ⇔ AB(-5 ; -1)

et DC(6-x ; -4-y)

6-x = -5 et -4-y = -1

⇔ x = 11 et y = -3

⇔ D(11 ; -3)

Aire ABCD = BC × AH = 5√13/2 × √13 = 65/2 = 32,5 cm²