bonjour

initialisation
pour n=0

1+10^(3*0 +1)+10^(6*0+2)

=1+10+10² = 1 +10 +100 = 111

donc la propriété est vraie au rang 0  c'est à dire pour n = 0

hérédité

soit k un entier naturel

supposons que 1 +10^(3k+1) +10^(6k+2) soit un multiple de 111
        (hypothèse de récurrence)
il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant

c'est à dire que 

 1 +10^(3(k+1)+1) +10^(6(k+1)+2) 

soit  1+10^(3k+4) +10^(6k+8)   est vraie

démonstration  de l'hérédité

10^3= 1000 = 999+1 = 9 x 111 +1

10^6 = 10^3 × 10^3 = (9 x 111 +1) × 10^3

=10^3 × 9 × 111 + 10^3

= 9000 × 111 + 9 × 111 +1

= 111 × ( 9000 +9) +1

=111 × 9009 +1

1+10^(3k+4) +10^(6k+8) 

=  1 +10^ (3k+1) × 10^3 +10^(6k+2) × 10^6

donc on a :

1 + 10^(3k+1) × (9 x 111 +1) + 10^(6k+2) × (111 × 9009 +1)

=1 + 10^(3k+1) × 9 × 111 + 10^(3k+1) + 10^(6k+2) × 111 × 9009 + 10^(6k+2)

=1 + 10^(3k+1) + 10^(6k+2) + 10^(3k+1) × 9 × 111 + + 10^(6k+2) × 111 × 9009

=1 + 10^(3k+1) + 10^(6k+2) + 111 [ 10^(3k+1) × 9 + 10^(6k+2) × 9009 ]

on sait  d'après l'hypothèse de récurrence que

1 + 10^(3k+1) + 10^(6k+2) est un multiple de 111

et 111 [ 10^(3k+1) × 9 + 10^(6k+2) × 9009 ] = 111K 

donc multiple de 111

la somme de 2 multiples étant aussi un multiple de ce nombre.

donc l'égalité est vérifié au rang k+1

donc la propriété est héréditaire

conclusion
proposition vraie pour n =0
par hérédité elle est vraie pour l'entier supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n≥0