En 2019, le stock de cabillaud au large des côtes d'un littoral était estimé à 5 000 tonnes. En raison de la surpêche, ce littoral a vu le stock de cabillaud diminuer sensiblement aux abords des côtes. Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition totale du littoral. Elles décident donc de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que, hors pêche, le stock reste constant à 5 000 tonnes. En 2019, le quota de cabillaud pouvant être pêché sur ces côtes est fixé à 600 tonnes. On note u(0) = 600. Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de 30 tonnes. * Calculer le quota de cabillaud, en tonnes, pouvant être pêché en 2020, noté u(1). * Calculer le quota de cabillaud, en tonnes, pouvant être pêché en 2021, noté u(2). * De façon générale, on note u(n) le quota de cabillaud, en tonnes, pouvant être pêché l'année (2019 + n).
Quelle est la nature de la suite u ? Donner sa raison. * Calculer u(10). Interpréter ce résultat dans le contexte étudié. * Le tableau suivant est extrait d'une feuille de calculs.
Il donne les valeurs de la suite u, ainsi que la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l'année 2019.
Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir en B3 afin d'obtenir les termes de la suite u ? * Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3. * afin d'obtenir, par étirement vers le bas, la quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2019 ?
A
n 2 0 3 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 9 12 10 Quota annuel (en tonnes) : u 600 570 540 510 480 450 C Quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2019 (en tonnes) 600 1 170 1 710 2 220 2 700 3 150 * Recopier et compléter le tableau, à la calculatrice ou au tableur. * Quelle est la quantité totale de cabillaud, en tonnes, pêchée entre 2019 et 2029 ? * La réglementation adoptée permet-elle d'éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes ?
Justifier. Partie B : pour aller plus loin... Une étude montre que le modèle précédent n'est pas valide. En fait, en l'absence de pêche, le stock de cabillaud augmente de 12 % chaque année. On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à 500 tonnes par an. Soit v(n) le stock de cabillaud, en tonnes, pour l'année 2019 + n, avant que ne démarre la saison de pêche. On rappelle que v(0) = 5 000. * Démontrer que v(1) = 5 100 et que v(2) = 5 212. * Calculer v(3). * Écrire une formule de récurrence permettant de calculer v(n + 1) en fonction de v(n). * On donne l'algorithme suivant :
Variables
!i et n sont des entiers naturels iv est un réel ; Traitement Saisir n
I V ‹ 5 000
Pour i allant de 1 à n
V < 1,12 x v - 500
Fin pour
Afficher v
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de v, obtenues à l'aide de l'algorithme, arrondies à l'unité, lorsque l'utilisateur saisit une valeur de n
comprise entre 4 et 7. Par exemple, pour n = 4,
l'algorithme affiche 5 478.
Valeur de n 4 5 Valeur de V, 6 7 arrondie à l'unité 5 478 5 635 5 812 6 009 Donner la valeur affichée par l'algorithme, arrondie à l'unité, lorsque l'utilisateur saisit la valeur n = 9. e. Interpréter, dans le contexte étudié, la valeur affichée par l'algorithme pour n=9