Explications étape par étape :

E(n)=[tex]\sum_{k=0}^n k(k+1)=\sum_{k=0}^n k^2+k=\sum_{k=0}^n k^2+\sum_{k=0}^nk[/tex]

Sachant que :

S(n)=[tex]\sum_{k=0}^nk=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

car S(n)=0+1+2+...+n

mais S(n)=n+(n-1)+(n-2)+...+0 (la même chose mais écrite en commençant par la fin)

Donc : 2S(n)=n+n+n+...+n (et ce n+1 fois car la somme à 0)

2S(n)=n(n+1)

ainsi, S(n)=(n(n+1))/2

De plus,

[tex]\sum_{k=0}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] (Démontrable par récurrence)

Par conséquent :

E(n)=[tex]\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{3n^2+3n+2n^3+3n^2+n}{6}[/tex]

[tex]=\frac{2n^3+6n^2+4n}{6}=\frac{n^3+3n^2+2n}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]

Voilà, j'espère que ça t'a aidé :)