2. S est dérivable sur ℝ\{1} Première forme de S'(x) : par dérivée de somme. Seconde forme de S'(x) : On en déduit alors, par analogie avec la première forme de S'(x), que pour n = 20 Or la première et la seconde forme de S'(x) sont évidemment égales. Donc
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Bonjour,∀(n,x)∈ℕ*×ℝ, on pose S(x) = 1+x+x²+...+xⁿ
1.a. ∀(n,x)∈ℕ*×ℝ, (x-1)S(x) = (x-1)(1+x+x²+...+xⁿ) = x+x²+x³+...+xⁿ+xⁿ⁺¹-1-x-x²-...-xⁿ = x-x+x²-x²+x³-x³+...+xⁿ-xⁿ+xⁿ⁺¹-1 = xⁿ⁺¹-1
D'où ∀(n,x)∈ℕ*×ℝ\{1}, (x-1)S(x) = xⁿ⁺¹-1 ⇒ (x-1)S(x)/(x-1) = xⁿ⁺¹-1/(x-1)
Or (x-1)/(x-1) = 1, d'où 1*S(x) = xⁿ⁺¹-1/(x-1) ⇒ S(x) = xⁿ⁺¹-1/(x-1)
2. S est dérivable sur ℝ\{1}
Première forme de S'(x) :
Seconde forme de S'(x) :
On en déduit alors, par analogie avec la première forme de S'(x), que
Or la première et la seconde forme de S'(x) sont évidemment égales.
Donc