Bonjour à tous!
Je suis en train de réviser les espaces vectoriels et il y a quelques notions que je n'ai pas vraiment comprises. Premièrement, qu'est-ce qu'un espace vectoriel? (c'est ballot de ne pas comprendre ça). Pour moi c'est seulement un espace qui regroupe un ensemble de vecteurs avec plusieurs composantes. Deuxièmement, si E=|R², cela signifie que mon vecteur aura 2 composantes? Troisièmement, je ne comprends pas ce que signifie f : |R³ → |R². et enfin, comment à partir de ceci :
x=a+b
y=a+2b
z=a+3b
On obtient un équation cartésienne de type : x-2y+z=0
Merci d'avance!
Je suis en train de réviser les espaces vectoriels et il y a quelques notions que je n'ai pas vraiment comprises. Premièrement, qu'est-ce qu'un espace vectoriel? (c'est ballot de ne pas comprendre ça). Pour moi c'est seulement un espace qui regroupe un ensemble de vecteurs avec plusieurs composantes. Deuxièmement, si E=|R², cela signifie que mon vecteur aura 2 composantes? Troisièmement, je ne comprends pas ce que signifie f : |R³ → |R². et enfin, comment à partir de ceci :
x=a+b
y=a+2b
z=a+3b
On obtient un équation cartésienne de type : x-2y+z=0
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Bonjour,1.
Soit un corps IK (généralement ℝ ou ℂ)
Dans sa définition formelle, un IK-espace vectoriel est un ensemble E muni :
- D'une loi interne qui est l'addition (notée +), c'est-à-dire pour tous éléments x et y de E, alors x+y appartient à E
- D'une loi externe à gauche qui est la multiplication par un scalaire (notée ·), c'est-à-dire pour tous x de E et k de IK, alors k·x appartient à E
Ainsi, on note généralement une telle structure (E,+,·)
Il admet plus précisément huit axiomes bien précis (que tu as probablement dans ton cours étant donné que c'est une notion fondamentale). Ces axiomes montrent clairement que tous les ensembles ne sont pas des IK-espaces vectoriels. Par exemple, l'ensemble ℝ* n'est pas un IK-espace vectoriel. En effet, ℝ* ne contient pas d'élément neutre pour l'addition car 0∉ℝ*
2.
Oui, un vecteur de ℝ² aura 2 composantes réelles.
Plus précisément, pour tout entier naturel non-nul n, un vecteur de ℝⁿ aura n composantes réelles.
3.
f : ℝ³ → ℝ² est une application dont l'ensemble de départ est ℝ³ et l'ensemble d'arrivée est ℝ².
Autrement dit, la variable est un triplet de réels, tandis que l'image de n'importe quel triplet de réels par f donnera un couple de réels.
Attention, si au moins un élément de ℝ³ n'a pas d'image dans ℝ² par f, alors f n'est plus une application, mais une fonction.