scoladan

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Bonjour,

Exercice 1

Largeur du logo : (10 - x)
Hauteur du logo : (x - 5)

Donc Aire du logo : (10 - x)(x - 5)

Si on appelle f la fonction qui associe à x l'aire du logo, on a :

f(x) = (10 - x)(x - 5)

⇔ f(x) = 10x - 50 - x² + 5x
⇔ f(x) = -x² + 15x - 50

Pour déterminer le maximum :

Si tu es en seconde : forme canonique
Si tu es en première : dérivée

Forme canonique :

f(x) = -(x² - 15x + 50)

⇔ f(x) = -[(x -15/2)² - (15/2)² + 50)]

⇔ f(x) = -[(x - 15/2)² - 225/4 + 200/4]

⇔ f(x) = -[(x - 15/2)² - 25/4]

Donc le maximum est atteint pour x = 15/2 et vaut alors f(15/2) = 25/4.

Les dimensions du logo pour que l'aire soit maximale sont donc :

Largeur : 10 - x = 10 - 15/2 = 5/2 = 2,5 cm
Hauteur :   x - 5 = 15/2 - 5 = 5/2 = 2,5 cm
Aire maximale : 2,5 x 2,5 = 6,25 cm²

Dérivée :

f'(x) = -2x + 15
f'(x) = 0 ⇒ x = 15/2

Tableau de variations de f :

x        0                  15/2                    10
f'(x)              +          0            -
f(x)        croissante    décroissante

la suite étant identique à précédemment.

Exercice 2

C(q) = q² + 30q + 1000  pour q ∈ [0;60]

Soit R la fonction qui associe à q en tonnes, le prix de vente en k€ :

R(q) = 100q

Le bénéfice B(q) s'exprime alors par :

B(q) = R(q) - C(q)

⇔ B(q) = 100q - (q² + 30q + 1000)

⇔ B(q) = -q² + 70q - 1000

La chocolaterie fait des bénéfices si B(q) > 0.

Δ = 70² - 4x(-1)x(-1000) = 4900 - 4000 = 900 = 30²

Donc 2 racines : q₁ = (-70 - 30)/(-2) = 50 et q₂ = (-70 + 30)/(-2) = 20

B(q) sera donc positif pour q ∈ ]20;50[

Bénéfice maximum :

Dérivée : B'(q) = -2q + 70

B'(q) = 0 ⇒ q = 35

Tableau de variations de B :

q          0                          35                            60
B'(q)                +              0              -
B(q)        croissante              décroissante

Donc B atteint son maximum pour q = 35 tonnes

Et ce maximum vaut : B(35) = -(35)² + 70x35 - 1000 = 225 k€