Bonjour à tous,
Situation
Le marathon de New York est une course pédestre de 42,195 kilomètres empruntant
chaque année depuis 1970 les rues de New York.
Aziz et Béatrice se sont mutuellement lancés un défi : participer au prochain marathon de
New York (chacun dans sa catégorie).
Pour cela, ils ont décidé de s'entrainer pour être physiquement prêts pour cet événement.
Chacun d'eux suivra sa propre méthode d'entrainement, sous la direction d'un entraineur professionnel. Leur
objectif: pouvoir courir 42,195 km soit 42 195 m.
Méthode Aziz : le premier jour d'entrainement, courir 10 km soit 10 000 m, ensuite, les jours suivants,
augmenter cette distance de 2 500 m.
Méthode Béatrice: le premier jour d'entrainement, courir 10 km soit 10 000 m, ensuite, les jours suivants,
augmenter cette distance de 15%.
Problématique
Qui, de Béatrice ou d'Aziz, sera prêt en premier pour se présenter au marathon?
Sur une semaine (7 jours), lequel des deux aura parcouru la plus grande distance ?
Travail à réaliser
La distance parcourue, le nième jour d'entrainement est représentée par (A.) pour la « méthode Aziz >>
La distance parcourue, le n'ème jour d'entrainement est représentée par (B₁) pour la « méthode Béatrice >>
1) On note A, la distance parcourue par Aziz le 1er jour. Calculer la distance parcourue, en mètres, le 2ème et le 3ème
jour d'entrainement avec la « méthode Aziz » soient Az et A3.
2) On note B, la distance parcourue par Béatrice le 1er jour. Calculer la distance parcourue, en mètres, le 2ème et le
3ème jour d'entrainement avec la « méthode Beatrice » soient B₂ et B3.
3) Les nombres A₁, A2 et A3 forment les premiers termes d'une suite numérique.
Donner la nature de cette suite (An). Justifier votre réponse.
4) Les nombres B₁, B2 et B3 forment les premiers termes d'une suite numérique.
Donner la nature de cette suite (BA). Justifier votre réponse.
5) A l'aide des formules des suites arithmétiques et géométriques ou d'un tableur, répondre à la problématique.
Détailler votre réponse.
Situation
Le marathon de New York est une course pédestre de 42,195 kilomètres empruntant
chaque année depuis 1970 les rues de New York.
Aziz et Béatrice se sont mutuellement lancés un défi : participer au prochain marathon de
New York (chacun dans sa catégorie).
Pour cela, ils ont décidé de s'entrainer pour être physiquement prêts pour cet événement.
Chacun d'eux suivra sa propre méthode d'entrainement, sous la direction d'un entraineur professionnel. Leur
objectif: pouvoir courir 42,195 km soit 42 195 m.
Méthode Aziz : le premier jour d'entrainement, courir 10 km soit 10 000 m, ensuite, les jours suivants,
augmenter cette distance de 2 500 m.
Méthode Béatrice: le premier jour d'entrainement, courir 10 km soit 10 000 m, ensuite, les jours suivants,
augmenter cette distance de 15%.
Problématique
Qui, de Béatrice ou d'Aziz, sera prêt en premier pour se présenter au marathon?
Sur une semaine (7 jours), lequel des deux aura parcouru la plus grande distance ?
Travail à réaliser
La distance parcourue, le nième jour d'entrainement est représentée par (A.) pour la « méthode Aziz >>
La distance parcourue, le n'ème jour d'entrainement est représentée par (B₁) pour la « méthode Béatrice >>
1) On note A, la distance parcourue par Aziz le 1er jour. Calculer la distance parcourue, en mètres, le 2ème et le 3ème
jour d'entrainement avec la « méthode Aziz » soient Az et A3.
2) On note B, la distance parcourue par Béatrice le 1er jour. Calculer la distance parcourue, en mètres, le 2ème et le
3ème jour d'entrainement avec la « méthode Beatrice » soient B₂ et B3.
3) Les nombres A₁, A2 et A3 forment les premiers termes d'une suite numérique.
Donner la nature de cette suite (An). Justifier votre réponse.
4) Les nombres B₁, B2 et B3 forment les premiers termes d'une suite numérique.
Donner la nature de cette suite (BA). Justifier votre réponse.
5) A l'aide des formules des suites arithmétiques et géométriques ou d'un tableur, répondre à la problématique.
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Réponse :
Bonjour,
Avec la méthode Aziz, la distance parcourue le deuxième jour est de 12 500 m (10 000 m + 2 500 m) et la distance parcourue le troisième jour est de 15 000 m (10 000 m + 2 x 2 500 m).
Avec la méthode Béatrice, la distance parcourue le deuxième jour est de 11 500 m (10 000 m + 0,15 x 10 000 m) et la distance parcourue le troisième jour est de 13 225 m (11 500 m + 0,15 x 11 500 m).
Pour la méthode Aziz, la différence entre deux termes successifs est constante (2 500 m), ce qui montre que la suite est arithmétique.
Pour la méthode Béatrice, le quotient entre deux termes successifs est constant (1,15), ce qui montre que la suite est géométrique.
Pour déterminer qui sera prêt en premier pour se présenter au marathon, il suffit de trouver le premier terme de chaque suite qui dépasse 42 195 m. Pour la méthode Aziz, on a A = 10 000 m et r = 2 500 m, donc la formule de la suite arithmétique est A_n = A + (n - 1) x r. En résolvant l'équation A_n = 42 195 m, on obtient n = 17, soit 17 jours d'entraînement. Pour la méthode Béatrice, on a B = 10 000 m et q = 1,15, donc la formule de la suite géométrique est B_n = B x q^(n-1). En résolvant l'équation B_n = 42 195 m, on obtient n = 23, soit 23 jours d'entraînement. Ainsi, Aziz sera prêt en premier pour se présenter au marathon.
Pour déterminer qui a parcouru la plus grande distance sur une semaine (7 jours), on calcule la somme des distances parcourues pour chaque méthode. Avec la méthode Aziz, on a S_7 = 10 000 m + 2 500 m x (7 - 1) = 25 000 m. Avec la méthode Béatrice, on a S_7 = 10 000 m x (1,15^6 - 1) / (1,15 - 1) = 29 394,58 m (arrondi au centième). Ainsi, Béatrice a parcouru la plus grande distance sur une semaine d'entraînement.
Explications étape par étape :