f(x)= (x^2 -2x+6)/(x+1)

1. f'(0) est le coefficient directeur de la tangente à (Cf) au point d'abscisse 0, puisque cette tangente passe par les points A(-1, 14) et B(1, -2) alors

f'(0)= 14-(-2) / -1 -1 =16/-2 =-8

2. (a) f est dérivable sur |R\{1} comme rapport de deux fonctions dérivables sur |R\{1}.

(b)Soit x∈ |R\{1} ,

f'(x)= (x^2 -2x+6)'×(x+1) -(x^2 -2x+6)×(x+1)' / (x+1)^2

<=> f'(x)= (2x-2)(x+1)-x^2+2x-6 /(x+1)^2

<=> f'(x)= 2x^2+2x -2x-2 -x^2+2x-6 /(x+1)^2

<=> f'(x)=x^2+2x-8 /(x+1)^2

(c) (x-2)(x+4)=x^2+4x-2x-8= x^2+2x-8

donc f'(x)= (x-2)(x+4) /(x+1)^2 pour tout x≠1

3. (a) Il s'agit de calculer f'(8)

f'(8)= (8-2)(8+4)/9^2 =6×12/9^2 =72/9^2 =8/9

(b) l'équation de cette tangente est

y=f'(8) (x-8)+f(8) =8/9 (x-8) +6

4. (a) On a f' s'annule en x=2 et x=-4

Donc la tangente à (Cf) est horizontale au point d'abscisse 2 et au point d'abscisse -4

(b) f'(x)=-4 <=> x^2+2x-8 /(x+1)^2 =-4

<=> x^2+2x-8 = -4 (x+1)^2

<=> x^2+2x-8 = -4x^2 -8x-4

<=> 5x^2+10 x-4=0

Δ= 100+80=180>0 ,elle admet 2 solutions

Donc ils existent des points de (Cf) où la tangente possède un coeffient directeur=-4

5. f'(x)= (x-2)(x+4) /(x+1)^2

Le signe de f' est celui de (x-2)(x+4)

Donc f'(x)>0 sur ]-inf, -4]U [2,+ inf[

et f'(x)<0 sur [-4,-1[U]-1,2]

6. f'(x)=0<=> x=-4 et x=2

f' s’annule en changeant de signe pour x=-4 et x=1

f(-4)=-10 est un maximum local de f atteint en x=-4

f(2)= 2 est minimum local de f atteint en x=2