bjr

vente de poupées - entre 0 et 60

avec

B(x) = bénéf = -x² + 54x - 200

en fonction x = nbre de poupées

1

B(10) = - 10² + 54*10 - 200 = - 100 + 540 - 200 = +240

bénéf de 240€ si vente de 10 poupées

2

a) tableau de variations ?

B(x) = - x² + 54x - 200

sous la forme

B(x) = ax² + bx + c

comme a = - 1  (< 0) la courbe sera en forme de ∩

avec comme point max : (-b/2a) soit = -54 / (2*(-1) = 27

donc B max pour 27 poupées vendues

B en € à calculer B(27)

x           0                     27                     60

B(x)    -200       C       B(27)       D        B(60)

C pour croissante et D pour décroissante

Q3a

racines de B(x) ?

soit racines de -x² + 54x - 200 ?

Δ = 54² - 4*(-1)*(-200) = 2916 - 800 = 46²

x' = (-54 - 46) / (-2) = 50

et

x'' = (-54 + 46) / (-2) = 4

donc B(x) = - (x - 50) (x - 4)

x            0               4              50              60

-1                   -                 -                   -

x-50               -               -        0          +

x-4                 -         0    +                    +

B(x)                -         0    +        0         +

ll faut donc produire et vendre entre 5 et 49 poupées

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape :

B(x) = -x² + 54x - 200

1) B(10) = -10² + 54 x 10 - 200

  B(10) = 100 + 540 - 200

  B(10) = + 240

  pour 10 poupées russes le bénéfice réalisé  positif est de 240€

2)

a)

a < 0 donc la parabole est orientée vers le bas (voir courbe de B(x) )

    B(x) admet un extremum en x = -b/2a

    ⇒ x = -54/2 x (-1)

    ⇒ x = + 27

→→ B est croissante pour tout x ∈ [0 ; 27]

    et décroissante pour tout x ∈  [27 ; 60].

    B(0) = - 200

    B(27) = + 529

    B(60) = - 560

tableau de variation ⇒ voir pièce jointe

b)

le bénéfice maximal est atteint en B(x) = 529 pour 27 poupées russes vendues

3)

B(x) = 0 ⇒ on cherche les racines

⇒ Δ = b² - 4ac

⇒ Δ = 54² - 4(-1) x (-200)

⇒ Δ = 2916 - 800

⇒ Δ = 2116

Δ > 0 donc 2 racines

x₁ = -b + √Δ/2a       et x₂ = -b - √Δ/2a

• x₁ = -54 + √2116/-2 = 4

• x₂ = -54 - √2116 /-2 = 50

donc B(x) = - (x - 4)(x - 50) soit B(x) = (4 - x)(x - 50)

⇒ B(x) = 0 pour x = 4  et x = 50

⇒ 4 - x < 0 pour x > 4

⇒ x - 50 < 0 pour x < 50

soit le tableau des signes suivant ⇒ voir pièce jointe

(b)

le bénéfice est positif (ou nul)  pour un nombre de poupées russes fabriquées et vendues compris entre[4 ; 50] 

la poduction de poupées russes sera donc rentabiliséesi l'usine fabrique et vend  entre 5 et 49 poupées ( pour 4 et 50 le bénéfice = 0)

bonne aprèm