Réponse :

1/ aire minimale = 12×x/2=6x⇒6x<144⇒x<24

donc l'aire minimale < 144

2/ 6x>56

x>9,3333

Explications étape par étape :

Réponse :

1) où placer M pour que Aimn soit minimale ?

Aimn = 144 - (1/2(6*(12-x) + 1/2(x(12 - x)) + (6+x)/2)*12)

         = 144 - (3(12 - x) + (6 x - x²/2) + 6(6 + x))

         = 144 - (36 - 3 x + 6 x - x²/2 + 36 + 6 x)

         = 144 - (- x²/2 + 9 x + 72)

         = 144 + x²/2 - 9 x - 72

   A(x) = 1/2) x² - 9 x + 72

          α = - b/2a = 9

           β = f(α) = f(9) = 1/2)*9² - 9*9 + 72 = .........

          il faut placer le point M tel que AM = BN = 9 ,  pour l'aire du triangle IMN soit minimale

2) où placer M pour que Aimn > 56  ?

A(x) = 1/2) x² - 9 x + 72 > 56  ⇔  1/2) x² - 9 x + 16 > 0

Δ = 81 - 4*1/2*16 = 49

x1 = 9+7)/2*1/2 = 16 ∉ [0 ; 12]  

x2 = 9-7)/2*1/2 = 2

          x                  0             2           12

 1/2) x² - 9 x + 16           +     0      -

             x ∈ ]0 ; 2[

Explications étape par étape :