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3n + 2m est un multiple de k donc il existe un entier a tel que  3n + 2 m =  ak

7n + 5m est un multiple de k donc il existe un entier b tel que  7n + 5m = bk

d'où

5 (3n +2 m) = 5 ak

15n + 10 m = 5 ak

et

2(7n +5m) = 2bk

14n + 10m = 2bk

En faisant la soustraction des deux, on obtient

(15n + 10 m) - (14n + 10m) = 5 ak - 2bk

n = (5a - 2b) k

a et b sont des entiers donc (5a -2b) est un entier, d'où n est un multiple de k

De la même manière on

7 (3n + 2m) = 7ak

21n + 14 m = 7 ak

et

3(7n + 5m) = 3 bk

21n + 15m = 3 bk

En faisant la soustraction des deux, on obtient

(21n + 15m) - (21n + 14 m) = 3 bk - 7 ak

m = (3b - 7a) k

a et b sont des entiers donc (3b - 7a) est un entier, d'où m est un multiple de k

Donc si (3n + 2m) et (7n + 5m) sont des multiples de k, alors n et m sont des multiples de k