Bonjour, après plusieurs tentatives je ne parviens pas à trouver les solutions de cette exercice. Si.... Pergunta de ideia debenromdhanelina

December 2020 1 70 Report

Bonjour, après plusieurs tentatives je ne parviens pas à trouver les solutions de cette exercice. Si quelqu'un pourrait m'aider cela serait super sympa de sa part. C'est a rendre pour lundi. MERCI

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Tenurf

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Explications étape par étape

Bonjour,

pour k réel non nul

$f_k(x)=\frac{k}{3}x^3-kx^2+x-1$

f est dérivable car c'est une fonction polynomiale

et pour tout réel x

$f_k'(x) =kx^2-2kx+1$

a) Résoudre $kx^2-2kx+1 = 0$

Discriminant = $4k^2-4k=4k(k-1)$

si discriminant est négatif il n y a pas de solution

si le discriminant est nul il y a une solution $x_0=\frac{2k}{2k} =1$

si le discriminant est positif il y a deux solutions x_1 et x_2

$x_2 = \frac{2k+\sqrt{4k(k-1)}}{2k} = 1 + \frac{\sqrt{k(k-1)}}{k} = 1 + \sqrt{\frac{k-1}{k}}$

$x_1 = \frac{2k-\sqrt{4k(k-1)}}{2k} = 1 - \sqrt{\frac{k-1}{k}}$

Nous pouvons écrire le tableau de signe du discriminant

k - 0 + 1 +

k-1 - -1 - 0 +

4k(k-1) + 0 - 0 +

De ce fait pour k dans $]-\infty;0[$

il y a deux solutions $x_1$ et $x_2$

pour k dans ]0;1] il n'y a pas de solution

pour k dans $[1;+\infty[$ il y a deux solutions $x_1$ et $x_2$

pour k dans ]0;1]

$f_k'(x)$ est du signe de k, donc est positive

pour k = 1 $f_1'(x)=x^2-2x+1 = (x-1)^2$

$f_1'(x) >= 0$

Enfin pour k>=1

x x_1 x_2

$f_k'(x)$ + 0 - 0 +

pour k <=0

x x_1 x_2

$f_k'(x)$ - 0 + 0 -

pour k dans ]0;1]

$f_k'(x)$ est du signe de k, donc est positive

$f_k$ est croissante

Enfin pour k>=1

x x_1 x_2

$f_k'(x$ ) + 0 - 0 +

$f_k$ croissante décroissante croissante

pour k <=0

x x_1 x_2

$f_k$ décroissante 0 croissante 0 décroissante

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benromdhanelina JE VOUS EN REMERCIE !!

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