Bonjour. Besoin d'aide s'il-vous-plaît pour cette exercice :
Une grande université accueillait 27 500 étudiants en septembre 2019. La capacité d'accueil de ce campus ne peut excéder 33 000 étudiants.
D'après une étude statistique, chaque année, 156 étudiants démissionnent en cours d'année universitaire (entre le 1er septembre et le 30 juin), de plus, les effectifs constatés à la rentrée de
septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède. Pour
n appartenant à N, on note un, le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2019 + n.
1. Justifier que un+1 = 1,04un - 156 pour tout entier naturel n. Préciser la valeur u0.
2. a. Déterminer une suite constante, notée a, vérifiant la même relation de récurrence que (un).
b. On considère la suite auxiliaire (v n) définie, pour tout appartenant à N, par vn = un - a.
Montrer que (vn) est géométrique. On précisera la raison et le premier terme vo de cette suite.
c. En déduire l'expression de vn puis de un en fonction de l'entier naturel n.
3. a. Déterminer la limite de la suite (un). Quelle interprétation peut-on donner de cette limite?
b. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de l'année la capacité de 33 000 étudiants
sera dépassée.
Merci d'avance.
Une grande université accueillait 27 500 étudiants en septembre 2019. La capacité d'accueil de ce campus ne peut excéder 33 000 étudiants.
D'après une étude statistique, chaque année, 156 étudiants démissionnent en cours d'année universitaire (entre le 1er septembre et le 30 juin), de plus, les effectifs constatés à la rentrée de
septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède. Pour
n appartenant à N, on note un, le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2019 + n.
1. Justifier que un+1 = 1,04un - 156 pour tout entier naturel n. Préciser la valeur u0.
2. a. Déterminer une suite constante, notée a, vérifiant la même relation de récurrence que (un).
b. On considère la suite auxiliaire (v n) définie, pour tout appartenant à N, par vn = un - a.
Montrer que (vn) est géométrique. On précisera la raison et le premier terme vo de cette suite.
c. En déduire l'expression de vn puis de un en fonction de l'entier naturel n.
3. a. Déterminer la limite de la suite (un). Quelle interprétation peut-on donner de cette limite?
b. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de l'année la capacité de 33 000 étudiants
sera dépassée.
Merci d'avance.
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1. Pour justifier que un+1 = 1,04un - 156, considérez que chaque année, les effectifs augmentent de 4%, ce qui signifie que la nouvelle année a 104% des effectifs de l'année précédente. Donc, un+1 = 1,04 * un. De plus, 156 étudiants démissionnent, ce qui se traduit par une diminution de 156, d'où un+1 = 1,04un - 156. La valeur u0 est égale à 27 500, car c'est le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2019.
2. a. La suite constante a peut être déterminée en résolvant la relation de récurrence avec u0 : a = 1,04u0 - 156.
b. Pour montrer que (vn) est géométrique, calculez vn+1/vn : (un+1 - a) / (un - a). En utilisant la relation de récurrence, vous verrez que vn+1/vn = 1,04.
c. L'expression de vn en fonction de n est vn = (u0 - a) * 1.04^n. En utilisant cela, vous pouvez exprimer un en fonction de n : un = vn + a = (u0 - a) * 1.04^n + a.
3. a. La limite de la suite (un) quand n tend vers l'infini est u=infini, car les effectifs augmentent continuellement de 4% chaque année. Cela signifie que la population étudiante continuera à croître indéfiniment.
b. Pour déterminer l'année où la capacité de 33 000 étudiants sera dépassée, vous pouvez résoudre l'équation un = 33 000 en utilisant l'expression de un en fonction de n. Vous devrez résoudre (u0 - a) * 1.04^n + a = 33 000 pour n. Utilisez une calculatrice pour cela.