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Bonjour,

1) a)

Z = [(x - 1) + (y + 1)i]/[(x - 3) + (y + 2)i]

b)

=  [(x - 1) + (y + 1)i]*[(x - 3) - (y + 2)i]/[(x - 3) + (y + 2)i][(x - 3) - (y + 2)i]

= [ [(x - 1)(x - 3) + (y + 1)(y + 2)] + [(y + 1)(x - 3) - (x - 1)(y + 2)]i ]/[(x - 3)² + (y + 2)²]

Pour rester lisible je le coupe en 2 ... :

partie réelle :

Re(Z) = [(x - 1)(x - 3) + (y + 1)(y + 2)]/[(x - 3)² + (y + 2)²]

= [x² - 4x + 3 + y² + 3y + 3]/[x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4]

= (x² - 4x + y² + 3y + 6)/(x² - 6x + y² + 4x + 13)

partie imaginaire :

Im(Z) = [(y + 1)(x - 3) - (x - 1)(y + 2)]i ]/[(x - 3)² + (y + 2)²]  

= [xy + x - 3y - 3 - xy - 2x + y + 2)i/((x² - 6x + y² + 4x + 13)

= (-x - 2y - 1)i/(x² - 6x + y² + 4x + 13)

2) Z ∈ R ⇒ im(Z) = 0

⇒ -x - 2y - 1 = 0

⇒ L'ensemble des points M(x,y) / Z ∈ R est la droite d'équation x + 2y + 1 = 0

⇔