Réponse :

Bonjour,et bonne année

Explications étape par étape

a) 123²-122²-121²+120² =(120+3)²-(120+2)²-(120+1)²+120²

   = 120² + 2×3×120 + 3² - 120² - 2×2×120 - 2² - 120² - 2×1×120 - 1 + 120²

   = 6×120 + 9 - 4×120 - 4 - 2×120 - 1 = 6×120 - 6×120 + 9 - 5 = 4

b) 12² - 11² - 10² + 9² = (9+3)² - (9+2)² - (9+1)² + 9²

   = 9² + 2×3×9 + 3² - 9² - 2×2×9 - 2² - 9² - 2×1×9 - 1² + 9²

   = 6×9 + 9 - 4×9 - 4 - 2×9 - 1 = 6×9 - 6×9 + 9 - 5 = 4

c) 45² - 44² - 43² + 42² = (42+3)² - (42+2)² - (42+1)² + 42²

   = 42² + 2×3×42 + 3² - 42² - 2×2×42 -2² - 42² - 2×1×42 - 1² + 42²

   = 6×42 - 6×42 + 9 - 4 - 1 = 4

2) A = 8² - 7² - 6² + 5² = (5+3)² - (5+2)² - (5+1)² + 5²

  A = 5² + 6×5 + 9 - 5² - 4×5 - 4 - 5² - 2×5 - 1 + 5²

   A= 9 - 4 - 1 = 4

B = 5² - 4² - 3² + 2² = (2+3)² - (2+2)² - (2+1)² + 2²

B = 2² + 6×2 + 9 - 2² - 4×2 - 4 - 2² - 2×2 - 1 + 2²

B = 9 - 4 - 1 = 4

C = 149² - 148² - 147² + 146² = (146+3)² - (146+2)² - (146+1)² + 146²

C = 146² + 6×146 + 9 - 146² - 4×146 - 4 - 146² - 2×146 - 1 + 146²

C = 9 - 4 - 1 = 4

3) On peut conjecturer qu'on trouvera toujours 4 en effectuant cette série d'opérations avec des nombres consécutifs

4) On obtient l'expression littérale suivante :

(x + 3)² - (x+2)² - (x+1)² + x²

5) si on développe ,on obtient

x² + 6x +9 - x² - 4x - 4 - x² - 2x - 1 + x² = 4

On obtiendra donc toujours 4 en effectuant ce modèle de calcul