Réponse :

soit u une fonction dérivable sur I

1) démontrer que u² est dérivable sur I et déterminer (u²)'

soit x₀ et  x  des réel  ∈ I  tel que  x ≠ x₀

    [(u(x))² - (u(x₀))²]/(x - x₀)  = (u(x) - u(x₀))(u(x) + u(x₀))/(x - x₀)

  = (u(x) + (u(x₀)) * [(u(x) - u(x₀)]/(x - x₀)

lim (u(x) + u(x₀)) = u(x₀) + u(x₀) = 2u(x₀)

x→x₀

lim (u(x) - u(x₀))/(x- x₀) = u'(x₀)

x→x₀          

donc [(u(x))² - (u(x₀))²]/(x - x₀) = 2u(x₀)u'(x₀)

donc la fonction u² est dérivable en x₀ et sa dérivée en x₀ est :

u'(x₀) = 2u(x₀)u'(x₀)

la fonction u est est dérivable en I pour tout x de I,  (u²) '(x) = 2uu'

3) démontrer que u³ est dérivable sur I et déterminer (u³)'

    soit x₀ et  x  des réel  ∈ I  tel que  x ≠ x₀

    [(u(x))³ - (u(x₀))³]/(x - x₀)  = (u(x) - u(x₀))(u²(x) + u(x)u(x₀) + u²(x₀))/(x - x₀)

  = (u²(x) + u(x)u(x₀) + u²(x₀)) * [(u(x) - u(x₀)]/(x - x₀)

lim (u²(x) + u(x)u(x₀) + u²(x₀)) = u²(x₀) + u(x₀)u(x₀) + u²(x₀) = 3u²(x₀)

x→x₀  

lim [(u(x) - u(x₀)]/(x - x₀) = u'(x₀)

x→x₀    

donc [(u(x))³ - (u(x₀))³]/(x - x₀) = 3u²(x₀)u'(x₀)   quand x tend vers x₀

la fonction u est est dérivable en I pour tout x de I,  (u³) '(x) = 3u²u'

3) quelles conjectures peut-on faire ?

si u est dérivable sur I  alors u² est dérivable sur I et sa dérivée est:

(u²)'(x) = 2 u'u

si u est dérivable sur I alors u³ est dérivable sur I et sa dérivée est

 (u³)'(x) = 3u'u²

si u est dérivable sur I alors  uⁿ est dérivable sur I et sa dérivée est

   (uⁿ)'(x) = nu'uⁿ⁻¹

Explications étape par étape :