Réponse :

1) déterminer graphiquement les coordonnées du point M pour que la distance AM soit minimale

M(1.5 ; 1.7)

2) a) montrer que pour tout x ≥ 0 ; g(x) = √(x² - 3 x + 4)

g(x) = AM

M(x ; f(x)) ⇔ M(x ; √x)

vec(AM) = (x - 2 ; √x)  ⇒ AM² = (x - 2)² + (√x)² = x² - 4 x + 4 + x     or  x ≥ 0

AM² = x² - 3 x + 4  ⇔ AM = √(x² - 3 x + 4)    donc g(x) = √(x² - 3 x + 4)      

b) justifier que g est définie et dérivable sur [0 ; + ∞[

       x² - 3 x + 4 ≥ 0

   Δ = 9 - 16 = - 7 < 0 pas de racines  donc  g(x) ≥ 0  car  a > 0

comme g(x) = AM   la distance est toujours positive

le polynôme x² - 3 x + 4  est dérivable sur R  et  √(x² - 3 x + 4) est dérivable dans son ensemble de définition  c'est à dire  [0 ; + ∞[

g '(x) = (√u)' = u'/2√u

u = x² - 3 x + 4  ⇒ u' = 2 x - 3

g '(x) = (2 x - 3)/2√(x² - 3 x + 4)

c) en déduire les variations de g

        x      0                          3/2                     + ∞

   2 x - 3                   -            0              +

      g(x)     2 →→→→→→→→→→→ 7/4 →→→→→→→→→ + ∞

                      décroissante             croissante

Explications étape par étape :