Soit C un cercle de centre O, et AB et CD deux diamètres de C.

1) Montrer que ABCD est un rectangle.

Pour montrer que ABCD est un rectangle, il faut prouver que les angles A, B, C et D sont des angles droits.

Considérons les triangles AOB et COD, qui sont des triangles isocèles puisque AO = OB et CO = OD (car ce sont des rayons du cercle C). De plus, les angles AOC et BOD sont des angles plats, car AB et CD sont des diamètres du cercle. Donc, angle AOC = angle BOD = 180°.

Dans les triangles AOB et COD, on a :

angle AOB = angle BOC = angle COD = angle DOA = 180° / 2 = 90°

Ainsi, les angles A, B, C et D sont des angles droits, ce qui prouve que ABCD est un rectangle.

2) En déduire que AC ⊥ BC.

Puisque ABCD est un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et les angles adjacents sont complémentaires. Ainsi, angle ACB = 90°, ce qui signifie que AC ⊥ BC.

3) Supposons que AB ⊥ CD.

a) Quelle est la nature de ACBD ? Justifier.

Si AB ⊥ CD, alors angle BAC = 90° et angle BDC = 90°. Puisque nous avons déjà prouvé que ABCD est un rectangle, cela signifie que tous les angles du quadrilatère ACBD sont des angles droits. Un quadrilatère dont tous les angles sont des angles droits est un rectangle. Donc, ACBD est un rectangle.

b) En déduire la nature du triangle ABC.

Dans le triangle ABC, nous savons que AC ⊥ BC et AB ⊥ BC. Par conséquent, angle ACB = 90°. Un triangle avec un angle droit est un triangle rectangle. Ainsi, le triangle ABC est un triangle rectangle en C.