Réponse :

Bénéf si on produit et vend entre 15 et 70 "unités" ;

        le Bénéf sera maxi pour 49 "unités" : 77112 €uros

Explications étape par étape :

■ Bénéf = Recette - Coût ♥

■ B(x) = 3000x - 2x³ + 160x² - 4250x - 10500

         = -2x³ + 160x² - 1250x - 10500

         = -2(x³ - 80x² + 625x + 5250)

         = -2(x+5)(x² - 85x + 1050)

         = -2(x+5)(x-15)(x-70)

■ dérivée B ' (x) = -6x² + 320x - 1250

   cette dérivée est positive pour 4,24 < x < 49,09 .

   cette dérivée est maxi pour x ≈ 26,7 .

■ dérivée seconde B " (x) = -12x + 320 nulle pour x ≈ 26,7 .

■ tableau :

       x        0          4,24        15        26,7         49,09        70         80

  B ' (x)           -        0           +         3017             0             -          

    B(x)  -10500  -13076       0        32119         77113         0      -110500

■ conclusion :

   Bénéf si on produit et vend entre 15 et 70 "unités" ;

        le Bénéf sera maxi pour 49 "unités" : 77112 €uros !