Réponse :

déterminer le sens de variation des suites ci-dessous

a) Un = 5 - 3 n

Un+1 - Un = 5 - 3(n+1) - (5 - 3 n)

                = 5 - 3 n - 3 -5 + 3 n

                = - 3

Un+1 - Un = - 3 < 0  alors la suite (Un) est décroissante sur N

Un = (3 n - 9)/2

Un+1 - Un = (3(n+1) - 9)/2  - (3 n - 9)/2

                = (3 n + 3 - 9)/2 - (3 n - 9)/2

                = (3 n - 6)/2 - (3 n - 9)/2

                = 3 n/2 - 3 - 3 n/2 + 9/2

                = - 3 + 9/2 = (- 6 +9)/2 = 3/2

Un+1 - Un = 3/2 > 0  alors la suite (Un) est croissante sur N

b) Un = 2 x (3/4)ⁿ

les termes de la suite (Un) sont strictement positif; on compare le quotient

 Un+1/Un  par rapport à 1

Un+1/Un = 2 x (3/4)ⁿ⁺¹/2 x (3/4)ⁿ

              = (2 x (3/4)ⁿ x 3/4)/2 x (3/4)ⁿ = 3/4 =  0.75

Un+1/Un = 0.75 < 1  alors la suite (Un) est décroissante sur N

Un = 5 x (8/7)ⁿ

les termes de la suite (Un) sont strictement positifs

on applique donc  Un+1/Un = 5 x (8/7)ⁿ⁺¹/5 x (8/7)ⁿ

                                              = 5 x (8/7)ⁿ x 8/7)/5 x(8/7)ⁿ = 8/7 ≈ 1.14  

Un+1/Un = 1.14 > 1  alors la suite (Un) est croissante sur N

c) Un = n² - 12n

soit  Un = f(n)  où  f(x) = x²- 12 x  définie sur l'intervalle [0 ; + ∞[

f est dérivable sur [0 ; + ∞[   et f '(x) = 2 x - 12

f '(x) ≥ 0 sur l'intervalle [6 ; + ∞[ ⇒ f est croissante sur l'intervalle [6 ; + ∞[

⇒ (Un) est croissante sur N à partir du rang n = 6

Explications étape par étape