Bonjour c'est un dm noté pour lundi. Exercice 28 et 34 Merci à ceux qui m'aideront.... Pergunta de ideia deNonehadashi

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Bonjour c'est un dm noté pour lundi.
Exercice 28 et 34
Merci à ceux qui m'aideront

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Exercice 28

A(-1 ; 2) , B(3 ; 7) , C(5 ; -1)

$a)\ I\ (x_I;y_I)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\(x_I;y_I)=(\dfrac{-1+3}{2};\dfrac{2+7}{2})\\\\(x_I;y_I)=(\dfrac{2}{2};\dfrac{9}{2})\\\\(x_I;y_I)=(1;\dfrac{9}{2})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{I\ (1;\dfrac{9}{2})}$

b) L'équation réduite de la droite d est de la forme : y = ax + b.

Calcul de a, coefficient directeur de la droite d.

Cette droite d est parallèle à la droite (BC). D'où, les droites d et (BC) ont le même coefficient directeur.

D'où

$a=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\\\\\\a=\dfrac{-1-7}{5-3}\\\\\\a=\dfrac{-8}{2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{a=-4}$

On en déduit que l'équation réduite de d est de la forme : y = -4x + b

Calcul de b.

La droite d passe par le point I(1 ; 9/2).
Donc, dans l'équation de d, nous pouvons remplacer x par 1 et y par 9/2

$\dfrac{9}{2}=-4\times1+b\\\\\dfrac{9}{2}=-4+b\\\\b=\dfrac{9}{2}+4\\\\b=\dfrac{9}{2}+\dfrac{8}{2}\\\\\boxed{b=\dfrac{17}{2}}$

Par conséquent, l'équation réduite de d est $\boxed{y=-4x+\dfrac{17}{2}}$

c) Calculons les coordonnées de J.

$J\ (x_J;y_J)=(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})\\\\(x_J;y_J)=(\dfrac{-1+5}{2};\dfrac{2-1}{2})\\\\(x_J;y_J)=(\dfrac{4}{2};\dfrac{1}{2})\\\\(x_J;y_J)=(2;\dfrac{1}{2})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{J\ (2;\dfrac{1}{2})}$

Le point J(2 ; 1/2) appartiendra à la droite d si ses coordonnées vérifient l'équation de d.

Dans l'équation de d, remplaçons x par 2 et montrons alors que y = 1/2.

$-4\times2+\dfrac{17}{2}=-8+\dfrac{17}{2}=-\dfrac{16}{2}+\dfrac{17}{2}=\boxed{\dfrac{1}{2}}$

Par conséquent, puisque les coordonnées de J vérifient l'équation de d, nous en déduisons que la droite d passe par le point J.

Nous venons ainsi d'illustrer la réciproque du théorème des milieux dont l'énoncé est le suivant :

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à l'autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Exercice 34

a) Droite (d1) : $y=\dfrac{2}{3}x$

Si x = 0, alors $y=\dfrac{2}{3}\times0=0$ ⇒ le point de coordonnées (0 ; 0) appartient à (d1)

Si x = 3, alors $y=\dfrac{2}{3}\times3=2$ ⇒ le point de coordonnées (3 ; 2) appartient à (d1)

Droite (d2) : $y=\dfrac{3}{2}x-10$

Si x = 0, alors $y=\dfrac{3}{2}\times0-10=-100$ ⇒ le point de coordonnées (0 ; -10) appartient à (d2)

Si x = 2, alors $y=\dfrac{3}{2}\times2-10=3-10=-7$ ⇒ le point de coordonnées (2 ; -7) appartient à (d2)

Droite (d3) : y = 2.

Cette droite est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point de coordonnées (0 ; 2)

Graphique en pièce jointe.

b) Coordonnées de A.

Il faut résoudre le système suivant :

$\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\y=\dfrac{3}{2}x-10 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{3}{2}x-10=\dfrac{2}{3}x \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{3}{2}x-\dfrac{2}{3}x=10 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{9}{6}x-\dfrac{4}{6}x=10 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{5}{6}x=10 \end{matrix}\right.$

$\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\x=10\times\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right. \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\x=12 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\times12\\\\x=12 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}y=8\\\\x=12 \end{matrix}\right.}$

D'où les coordonnées du point A sont (12 ; 8).

Coordonnées de B.

Il faut résoudre le système suivant :

$\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{3}x=2\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=2\times\dfrac{3}{2}\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x=3\\\\y=2 \end{matrix}\right.}$

D'où les coordonnées du point B sont (3 ; 2).

Coordonnées de C.

Il faut résoudre le système suivant :

$\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{3}{2}x-10\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x-10=2\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x=12\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=12\times\dfrac{2}{3}\\\\y=2 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x=8\\\\y=2 \end{matrix}\right.}$

D'où les coordonnées du point C sont (8 ; 2).

c) Ces coordonnées se retrouvent parfaitement sur le graphique.

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