milieu de AC =( (xc+xa)/2 ; (yc+ya)/2)

= ( -4+3)/2 ; ( 0+1) /2

=(-1/2 ; 1/2)

milieu de BD= ((xd+xb)/2 ; (yd+yb)/2)

= ( -3+2)/2 ; ( -2+3) /2

=( -1/2 ; 1/2)

[AC] et [BD] ont le m^me milieu

puisque les diagonales de ABCD ont le même milieu

on peut affirmer que ABCD est un parallélogramme.

ABCD est un rectangle s'il a un angle droit

car théorème

un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

on calcule AB²

AB² = (xb-xa)² +(yb-ya)²

=(2 -3)² +(3-1)²

=(-1)² +(2)² = 1 +4 = 5

on calcule AD²

AD²=(xd-xa)² +(yd-ya)²

=(-3-3)² +(-3-1)²

=0² (-4)² = 16

on calcule BD²

BD²= (xd-xb)² +(yd-yb)²

 = ( -3 -2)² +( -2 -3)² 

= (-5)² +(-5)² = 25 +25 = 50

AB²+ AD² = 5 +16 = 25

BD² = 25

d'après la réciproque du théorème de Pythagore :

on a  l'égalité AB²+ AD² = BD²

on peut affirmer que 

l'angle A est droit

donc  ABCD est un rectangle

Exercice 32

on considère le triangle OAB

(AM) perpendiculaire (OB) énoncé

donc (AM) est une hauteur du triangle (OAB)

(BM) perpendiculaire (OA) énoncé

donc (BM) est une hauteur du triangle (OAB)

AB est le troisième côté du triangle OAB

la 3ème hauteur du triangle OAB

passe par le 3ème sommet O

et elle passe par le point M

point d'intersection des hauteurs

et elle est donc perpendiculaire au 3ème côté [AB]

donc (OM) perpendiculaire à (AB)

b)

on considère le triangle OAM

(BM) perpendiculaire à (OA) énoncé

donc (BM) hauteur de OAM (hauteur issue du sommet M)

La perpendiculaire au côté [AM] issue du sommet O coupe (AM) en B.

(énoncé (AM) perpendiculaire (OB))

donc (OB) hauteur de OAM

B est le point d'intersection des hauteurs(BM) et (OB) du triangle OAM

B est l'orthocentre du triangle OAM.