Bonjour,

Partie A :

1)

La valeur d'une dérivée en un point est le coeff directeur de la tgte en ce point.

Pour f '(-1) , tu cherches donc le coeff directeur de la tgte en x=-1.

Elle est horizontale .

Or le coeff directeur d'une droite horizontale est zéro.

Donc :

f '(-1)=0

Pour f '(2) , tu as une tgte qui passe par B(2;0) et un point que j'appelle C(0;2) que tu vois sur la figure .

Coeff directeur de la tgte (BC)=(yC-yB)/(xC-xB)=(2-0)/(0-2)=2/-2=-1

Donc :

f '(2)=-1.

2)

La tgte au point x=1 a pour équation :

y=f '(1)(x-1)+f(1)

y=f '(1)*x - f'(1)+f(1)

Par identification avec : y=-2x+7/2 , on a :

f ' (1)=-2

et :

-f '(1)+f(1)=7/2 soit : f(1)=7/2+f '(1)

soit :

f(1)=7/2-2=7/2-4/2

f(1)=3/2

2)

a)

FAUX.

Le coeff directeur de la tgte en x=-3 est positif car cette tgte correspond à une fct affine croissante ( les y varient dans le même sens que les x).

Ou : la tgte passe des y négatifs ou y positifs.

Donc f '(-3) > 0.

b)

FAUX.

Le coeff directeur de la tgte en x=0 est négatif car cette tgte correspond à une fct affine décroissante ( les y varient dans le sens inverse des x).

Ou : la tgte passe des y positifs aux y négatifs.

Donc :

f '(0) < 0.

Partie B :

1)

a)

Quand x tend vers -∞ :

lim (fx)=lim (-9x/x²)=lim(-9/x)=0 par valeurs positives car numé et déno sont négatifs.

Quand x tend vers +∞ :

lim (fx)=lim (-9x/x²)=lim(-9/x)=0 par valeurs négatives car numé négatif et et déno positif.

b)

Tgte horizontale quand f '(x)=0

f(x) est de la forme u/v avec :

u=18-9x donc u '=-9

v=x²+5 donc v '=2x

f '(x)=[-9(x²+5)-2x(18-9x)]/ (x²+5)

f '(x)=(-9x²-45-36x+18x²)/(x²+5)

f '(x)=(9x²-36x-45)/(x²+5)

f '(x)=9(x²-4x-5)/(x²+5)²

On résout donc :

x²-4x-5=0

Δ=(-4)²-4(1)(-5)=36

√36=6

x1=(4-6)/2=-1 et x2=(4+6)/2=5

f(-1)=(18-9(-1))/((-1)²+5)=27/6=9/2

f(5)=(18-9(5)) / (5²+5)=-27/30=-9/10

Deux tgtes horizontales :

y=9/2 et y=-9/10

2)

Déjà fait .

f '(x) est négative entre les racines du numérateur  car le coeff de x² dans (x²-4x-5) est positif et le déno est tjrs positif. Les racines sont -1 et 5 ( Voir ci-dessus).

3)a)b

x-------->-∞.................-1.....................5...................+∞

f '(x)--->..........+...........0.........- .......0..........+..........

f(x)---->.........C...........9/2....D.........-9/10.....C.....

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

4)

a)

f(0)=18/5=3.6

f(1)=(18-9)/(1+5)=9/6=1.5

Dans [0;1], la fct f(x) est continue et strictement décroissante passant de la valeur 3.6 pour x=0 à la valeur 1.5 pour x=1. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=2.

b)

On entre la fct dans la calculatrice.

α ≈ 0.8 car f(0.8)≈1.9149 et f(0.7)≈2.1311

5)

y=f '(-2) (x-(-2))+f(2)

Tu vas trouver :

f '(-2)=7/9 et f(-2)=4

y=(7/9)(x+2)+4

y=(7/9)x+14/9+36/9

y=(7/9)x+50/9