Bonjour

1)

Pour n entier, nous avons

[tex]u_n=\dfrac{3n^3+2n^2+2n+1}{3n+2}\\\\=\dfrac{3n^3\left(1+\dfrac{2n^2}{3n^3}+\dfrac{2n}{3n^3}+\dfrac1{3n^3}\right)}{3n(1+\dfrac{2}{3n})}\\\\=\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{2}{3n}+\dfrac{2}{3n^2}+\dfrac1{3n^3}\right)}{(1+\dfrac{2}{3n})}\\\\[/tex]

Et comme

[tex]1+\dfrac{2}{3n}+\dfrac{2}{3n^2}+\dfrac1{3n^3} > 1+\dfrac{2}{3n}\\\\\text{car}\\\\\dfrac{2}{3n^2}+\dfrac1{3n^3} > 0[/tex]

nous avons le résultat demandé, à savoir

[tex]u_n\geq n^2[/tex]

pour tout n entier naturel

2)

Comme

[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2=+\infty[/tex]

Par comparaison nous avons

[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty[/tex]

Merci