Bonjour,

1. Pour tout n entier plus grand que 2, il est clair que

[tex]-1\leq (-1)^n\leq 1[/tex]

car si n est pair ca vaut 1, et si n est impair ca vaut -1

Par conséquent,

[tex]n-1\leq n+(-1)^n\leq n+1\\\\\iff \dfrac{\sqrt{n+1}}{n+1} \leq \dfrac{\sqrt{n+1}}{n+(-1)^n} \leq \dfrac{\sqrt{n+1}}{n-1}[/tex]

d'où le résultat.

2.

Pour n entier plus grand que 2,

[tex]\dfrac{\sqrt{n+1}}{n+1}=\dfrac1{\sqrt{n+1}} \to 0[/tex]

et

[tex]\dfrac{\sqrt{n+1}}{n-1}=\dfrac{\sqrt{1+\dfrac1{n}}}{\sqrt{n}(1-\dfrac1{n})} \to 0[/tex]

3. En appliquant le théorème des gendarmes nous aboutissons donc au fait que

[tex](u_n-1) \to 0\\\\\iff u_n \to 1[/tex]

La suite (un) est convergente et tend vers 1.

Merci

Réponse :

Quelqu’un peut m’aider s’il vous plaît ? Je suis vraiment désespéré face à cette exercice et je vous en serais reconnaissante de m’aider, Merci d’avance

n ≥ 2  ;   un = 1 + √(n+1)/(n+(-1)ⁿ)

1) montrer que pour tout n ≥ 2     √(n+1)/(n+1) ≤ un  - 1 ≤ √(n+1)/(n-1)

   n - 1 ≤ n + (- 1)ⁿ ≤ n+1

1/(n-1) ≥ 1/(n+(-1)ⁿ) ≥ 1/(n+ 1) ⇔  1/(n+1) ≤ 1/(n+(-1)ⁿ) ≤ 1/(n - 1)

⇔ √(n+1)/(n+1) ≤ √(n+1)/(n+(-1)ⁿ) ≤ √(n+1)/(n - 1)    car  √(n+1) ≥ 0

 √(n+1)/(n+1) ≤ un  - 1 ≤ √(n+1)/(n - 1)

2) déterminer la limite des suites de terme général

          √(n+1)/(n+1) = √n(1 + 1/n)/n(1 + 1/n)

lim 1/n = 0   et lim √n/n = lim n/n√n = lim 1/√n = 0

n → + ∞            n→ + ∞

donc lim √(n+1)/(n+1) = 0  et lim √(n+1)/(n - 1) = 0

         n → + ∞                         n → + ∞  

3) conclure sur la limite de la suite (un)

  d'après le th.gendarme   la lim (un - 1) = 0  donc  lim un  = 1

                                                 n→ + ∞                         n → + ∞

Explications étape par étape :