Bonjour, on nomme f la fonction définie sur ]0;1[ telle que: f(x)=4/x-9/(x-1)= Cette fonction est dérivable sur ]0;1[ et f' sa dérivée: f'(x)=(f(x))' f'(x)=(4/x-9/(x-1))' f'(x)=-4/x²+9/(x-1)² Nous allons chercher à connaître pour quelle valeur de x de ]0;1[ f' s'annule-t-elle: f'(x)=0 -4/x²+9/(x-1)²=0 (-4(x-1)²+9x²)/(x²(x-1)²)=0 -4(x-1)²+9x²=0 -4(x²-2x+1)+9x²=0 -4x²+8x-4+9x²=0 5x²+8x-4=0 Δ=b²-ac=(8)²-4(5)(-4)=144 x(1)=(-8+12)/10=0.4x(2)=(-8-12)/10=-2∉]0;1[ On a donc un point d'abscisse 0.4 pour lequel f' s'annule donc f atteint un extrema. Il ne reste qu'à étudier le signe de: f(x)-f(0.4)=4/x-9/(x-1)-(4/0.4-(9/(0.4-1)) f(x)-f(0.4)=4/x-9/(x-1)-25 f(x)-f(0.4)=(4(x-1)-9x)-25x(x-1))/(x(x-1)) f(x)-f(0.4)=(4x-4-9x-25x²-25x)/(x(x-1)) f(x)-f(0.4)=(-25x²30x-4)/(x(x-1)) f(x)-f(0.4)=(25x²+30x+4)/(x(1-x)) ∀x∈]0;1[ x(1-x)>0 et 25x²+30x+4≥0 donc nous pouvons écrire que: f(x)-f(0.4)≥0 f(x)-25≥0 f(x)≥25 4/x-9/(x-1)≥25---->CQFD
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Bonjour,on nomme f la fonction définie sur ]0;1[ telle que:
f(x)=4/x-9/(x-1)=
Cette fonction est dérivable sur ]0;1[ et f' sa dérivée:
f'(x)=(f(x))'
f'(x)=(4/x-9/(x-1))'
f'(x)=-4/x²+9/(x-1)²
Nous allons chercher à connaître pour quelle valeur de x de ]0;1[ f' s'annule-t-elle:
f'(x)=0
-4/x²+9/(x-1)²=0
(-4(x-1)²+9x²)/(x²(x-1)²)=0
-4(x-1)²+9x²=0
-4(x²-2x+1)+9x²=0
-4x²+8x-4+9x²=0
5x²+8x-4=0
Δ=b²-ac=(8)²-4(5)(-4)=144
x(1)=(-8+12)/10=0.4x(2)=(-8-12)/10=-2∉]0;1[
On a donc un point d'abscisse 0.4 pour lequel f' s'annule donc f atteint un extrema. Il ne reste qu'à étudier le signe de:
f(x)-f(0.4)=4/x-9/(x-1)-(4/0.4-(9/(0.4-1))
f(x)-f(0.4)=4/x-9/(x-1)-25
f(x)-f(0.4)=(4(x-1)-9x)-25x(x-1))/(x(x-1))
f(x)-f(0.4)=(4x-4-9x-25x²-25x)/(x(x-1))
f(x)-f(0.4)=(-25x²30x-4)/(x(x-1))
f(x)-f(0.4)=(25x²+30x+4)/(x(1-x))
∀x∈]0;1[ x(1-x)>0 et 25x²+30x+4≥0 donc nous pouvons écrire que:
f(x)-f(0.4)≥0
f(x)-25≥0
f(x)≥25
4/x-9/(x-1)≥25---->CQFD