Réponse :

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Bonne soirée

Explications étape par étape :

Réponse :

d(t) = 1 + (3t + 4)/(1+t²)     définie  pour t  ∈ [- 5°C ; 5°C]

1) déterminer le débit maximal de la pompe

   d'(t) = (3(1+t²) - 2t(3t+4))/(1+t²)²

          = (3 + 3t² - 6t² - 8t)/(1+t²)²

          = (- 3t² - 8 t + 3)/(1+t²)²

le débit est maximal  lorsque d'(t) = 0  ⇔ - 3t² - 8 t + 3 = 0

Δ = 64 + 36 = 100 > 0 ⇒ 2 racines ≠

t1 = 8 + 10)/- 6  = - 3°C  ⇒ d(-3) = 1 + (3*(-3) + 4)/(1+(-3)²) = 0.5 l/s

t2 = 8 - 10)/- 6 = - 2/-6 = 1/3 °C  ≈ 0.33 ° C  

⇒ d(1/3) = 1 + (3*(1/3) + 4)/(1 + (1/3)²) = 5.5 l/s

donc le débit maximum de la pompe est de 5.5 l/s

la température correspondante à ce débit max  est  1/3 °C

2) A quelle(s) température(s) le débit est-il de 3 l/s

        1 + (3t + 4)/(1+t²) = 3   ⇔  (3t + 4)/(1+t²) - 2 = 0

⇔  (3t + 4) - 2(1 + t²) = 0  

⇔ 3t + 4 - 2 - 2t² = 0

⇔ - 2t² + 3t + 2 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 > 0  ⇒ 2 racines ≠

t1  = - 3 + 5)/- 4 = - 1/2 = - 0.5°C

t2 = - 3 - 5)/-4 = 2 °C

3) on souhaite que le débit soit au moins égal à 3 l/h

quelle doit alors la température

      d(t) ≥ 3  ⇔ 1 + (3t + 4)/(1+t²) ≥ 3  ⇔ - 2t² + 3t + 2 ≥ 0

            t           - 5           - 0.5            2              5                

 - 2t² + 3t + 2             -        0       +     0       -

la température doit être t ∈ [- 0.5°C ; 2°C]        

Explications étape par étape :