Bonjour est ce quelqu’un pourrait m’aider svp ?
On dispose d’une feuille de papier cartonné de 25 cm de côté. Pour fabriquer une boîte sans couvercle, on enlève à chaque coin un carré de cm de côté et on relève les bords par pliage.
On considère la fonction qui à , en cm, associe le volume de la boîte, en cm3.
1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction ? Justifier.
2) Montrer que V(x) = (25 − 2)2.
On dispose d’une feuille de papier cartonné de 25 cm de côté. Pour fabriquer une boîte sans couvercle, on enlève à chaque coin un carré de cm de côté et on relève les bords par pliage.
On considère la fonction qui à , en cm, associe le volume de la boîte, en cm3.
1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction ? Justifier.
2) Montrer que V(x) = (25 − 2)2.
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ Surface de départ du carré de carton = 25² = 625 cm² .
■ si on enlève 1 carré de côté x cm dans chaque coin
afin de relever les bords du carton de x cm en hauteur :
Surface du fond = (25 - 2x)² avec 0 < x < 12,5 cm bien entendu !
Volume de la boîte obtenue = (25 - 2x)² * x .
■ Etude du Volume de la boîte sur l' intervalle [ 0 ; 12,5 ] :
V(x) = (625 - 100x + 4x²) * x = 4x³ - 100x² + 625x .
dérivée V ' (x) = 12x² - 200x + 625
cette dérivée est nulle pour
x = 12,5 et pour x = 25/6 ≈ 4,17
dérivée seconde V '' (x) = 24x - 200 nulle pour x = 25/3 ≈ 8,33
La courbe admet un Centre de symétrie
de coordonnées (25/3 ; 579,4)
tableau :
x --> 0 4,17 8,33 12,5 cm
varia -> + 0 décroissante 0
V(x) -> 0 1157,4 579,4 0 cm³
conclusion :
le Volume maxi ( voisin de 1157 cm³ soit 1,157 Litre )
sera atteint pour x = 25/6 ≈ 4,17 cm .