Réponse :

Explications étape par étape

1)g(x)=-20x+5x lnx +30 sur [1; 45]

Dérivée g'(x)=-20+5lnx +5x*(1/x)=-15+5lnx

g'(x)>ou=0 si 5lnx>=15

lnx>=3    soit  x> ou=e³

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x    1                                e³                             45

g'(x)..........-.........................0...............+.....................

g(x)g(1).......décroi.......g(e³)...........croi..................g(45)

g(1)=10; g(e³)=-70     et g(45)=-14    (vérifie)

l'équation g(x) =0 admet une solution "alpha" sur l'intervalle [1;e³] ceci d'après le TVI

alpha=1,75 (environ) vérifie par encadrement

signes de g(x) >0 sur [1; alpha[ et <0 sur ]alpha; 45]

3)Pour montrer que G(x)=-11,25x²+2,5x²lnx +30x est une primitive de g(x) il suffit de dériver G(x) pour voir si on retrouve g(x)

G'(x)=-22,5x+5xlnx+2,5x²*(1/x)+30=-20x+5xlnx+30 et ceci =g(x)

4)L'intégrale de 10à 45 de g(x)dx=G(45)-G(10)  ce n'est que du calcul avec ta calculette tu devrais trouver -1910 (environ)à vérifier

La valeur moyenne de G(x) sur cet intervalle est =-1910/(45-10)=-55 (environ)

Pour ton info c'est la température moyenne de la stratosphère

la partie B n'est qu'une application  pratique  de ta fonction g(x) et de sa primitive

1)1750m   2) -70°C à 20000m   3)-55°C