Bonjour,
f est la fonction définie sur R par f(x)=−x³+3x+2
1)Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f(x)
2)C est la courbe d’équation y=x³, Δ est la droite d’équation y=3x+2. Étudier la position relative de C et Δ.
Merci d'avance.
f est la fonction définie sur R par f(x)=−x³+3x+2
1)Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f(x)
2)C est la courbe d’équation y=x³, Δ est la droite d’équation y=3x+2. Étudier la position relative de C et Δ.
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-x³ + 3x + 2 = 0
On peut factoriser cette expression :
-x³ + 3x + 2 = -(x-2)(x²+2x-1) = 0
On en déduit que les racines sont x=2, x= -1 + √2 et x= -1 - √2.
On peut maintenant étudier le signe de f(x) en fonction des intervalles délimités par ces racines :
- Sur l'intervalle ]-∞; -1 - √2[, les trois facteurs (x-2), (x+1-√2) et (x+1+√2) sont négatifs. Le produit de trois nombres négatifs est négatif, donc f(x) est négatif.
- Sur l'intervalle ]-1 + √2; 2[, le facteur (x-2) est négatif, tandis que les deux autres sont positifs. Le produit de deux nombres positifs et d'un nombre négatif est négatif, donc f(x) est négatif.
- Sur l'intervalle ]2; +∞[, les trois facteurs sont positifs. Le produit de trois nombres positifs est positif, donc f(x) est positif.
On peut résumer ces résultats en disant que f(x) est négatif sur l'intervalle ]-∞; -1 - √2[ ∪ ]-1 + √2; 2[, et positif sur l'intervalle ]2; +∞[.
2) La courbe C est définie par l'équation y=x³, et la droite Δ a pour équation y=3x+2. Pour étudier la position relative de C et Δ, il faut déterminer leurs intersections éventuelles.
On cherche donc les points d'intersection entre C et Δ, c'est-à-dire les solutions de l'équation :
x³ = 3x + 2
On peut réarranger cette équation pour obtenir :
x³ - 3x - 2 = 0
On peut factoriser cette expression :
(x-2)(x²+2x+1) = 0
On en déduit que les racines sont x=2 et x= -1.
La courbe C passe par l'origine (0,0), et a une pente positive pour les valeurs positives de x, et une pente négative pour les valeurs négatives de x. La droite Δ a une pente de 3, donc elle est plus pentue que la courbe C pour les valeurs positives de x, et moins pentue pour les valeurs négatives de x.
On peut donc conclure que la courbe C et la droite Δ se croisent en un point d'abscisse 2, et que la courbe C est en dessous de la droite Δ pour les valeurs négatives de x, et au-dessus pour les valeurs positives de x.