Réponse :

Explications étape par étape :

f(x) = -x³ + 3x + 2 definie sur R.

1) f est une fonction polynôme de degré 3 donc dérivable sur R.

f'(x) = -3x² + 3 =3(-x² + 1) = 3(1 - x)(1 + x)

Tableau de signes de f'(x)

x              -∞                 -1                   1                   +∞

1  - x                   +         |           +       0         -

1 + x                   -          0          +        |        +

f'(x)                     -          0          +        0       -

sur les intervalles ]-∞;-1] et [1;+∞[, f(x) ≤ 0 et f est décroissante.

sur l'intervalle [-1;1], f'(x) ≥ 0 et f est croissante.

2) f(2) = -2³ + 3*2 + 2 = -8 + 6 + 2 = 0

2 est une racine de f(x).

f(x) se factorise sous la forme f(x) = (x - 2)(ax² + bx + c)

En développant, on a  -x³ + 3x + 2 = ax³ + bx² +cx - 2ax² - 2 bx -2c

par identification , ona :

• a = -1
• b - 2a  = 0 → b = 2a → b = -2
• c - 2b = 3 → c = 3 + 2b = 3 - 4 = -1
• -2c = 2 → c = -1

f(x) = (x - 2)(-x² - 2x - 1) = -(x - 2)(x² + 2x + 1) = -(x - 2)(x + 1)²

Tableau de signes de f(x)

x                   -∞                     -1                    2                   +∞

(x - 2)                          -          |           -         0          +

-(x - 2)                        +          |           +        0           -

(x + 1)²                       +          0          +         |           +

f(x)                             +          0           +        0          -

Sur l'intervalle ]-∞ ; 2] , f(x) ≥ 0

Sur l'intervalle [2 ; +∞[, f(x) ≤ 0

4) Pour étuduer la position relatuve de la courbe représentative de la fonction y = x³ et de la droite d'équation y = 3x + 2, il faut étudier le signe de l'expression x³ - (3x + 2 ) = x³ - 3x - 2 = -f(x)

x³ - (3x + 2) ≤ 0  sur ]-∞ ; 2] : la courbe représentant x³ est au dessous de la droite d'équation y = 3x + 2

x³ - (3x + 2) ≥ 0 sur [2 ; +∞[ :  la courbe reprsentant x³ est au-dessus de la droite d'équation y = 3x  + 2.