Réponse:

Pour étudier les variations d'une fonction,il faut la dériver.

Explications étape par étape:

a)

[tex] f'(x)=4e^{4x + 1}+5 \\ f'(x) > 0 \: \\ donc \: f \: est \: croissante[/tex]

b)

[tex]g'(x)= {e}^{x + 1} + 1 > 0 \: \\ g \: est \: croissante[/tex]

c)

[tex]h'(x) = x {e}^{x} + e {}^{x} \\ = (x + 1) {e}^{x} [/tex]

h'>0 <=> x+1>0 (car e^x >0 pour tout x)

<=> x>-1 donc h croissante sur [-1; infini[

h'<0 <=> x+1<0 (car e^x >0 pour tout x)

<=> x<-1 donc h décroissante sur [-infini;-1[

d)

[tex]k'(x) = \frac{ - {e}^{x} }{(e {}^{x}) {}^{2} } = -\frac{ 1}{ {e}^{x} } <0 \\ pour \: tout \: x[/tex]

donc k décroissante